[論文レビュー] On Dirichlet problem for fractional $p$-Laplacian with singular nonlinearity

Tuhina Mukherjee, K. Sreenadh|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 30被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、有界領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 内で、$n > sp$、$s \in (0,1)$、$\lambda > 0$、$0 < q \leq 1$、$\alpha \leq p^*_s - 1$ を満たす条件下で、特異非線形項 $\lambda u^{-q} + u^{\alpha}$ を持つ分数階 $p$-ラプラシアン方程式の正の弱解の存在および多重性を調査する。変分法および下・上解法を用いて、$\lambda$ が小さい場合に少なくとも1つの正の解が存在することを示し、$\alpha$ や $p$ に関する特定の条件下で複数の解が存在することを示した。これは、局所的 $p$-ラプラシアンおよび分数階ラプラシアン設定における結果を拡張するものである。

ABSTRACT

In this article, we study the following fractional $p$-Laplacian equation with critical growth singular nonlinearity \begin{equation*} \quad (-\De_{p})^s u = \la u^{-q} + u^α, u&gt;0 \; ext{in}\; \Om,\quad u = 0 \; \mbox{in}\; \mb R^n \setminus\Om. \end{equation*} where $\Om$ is a bounded domain in $\mb{R}^n$ with smooth boundary $\partial \Om$, $n &gt; sp, s \in (0,1), \la &gt;0, 0 &lt; q \leq 1 $ and $α\le p^*_s-1$. We use variational methods to show the existence and multiplicity of positive solutions of above problem with respect to parameter $\la$.

研究の動機と目的

• 分数階 $p$-ラプラシアン方程式に特異的かつ臨界定数の非線形項を有する場合の正の弱解の存在を確立すること。
• 特異項 $\lambda u^{-q}$ のパラメータ $\lambda > 0$ が解の存在に与える依存関係を分析すること。
• 非局所的で特異的かつ臨界定数の非線形項を有する分数階 $p$-ラプラシアン設定に、変分法を応用すること。
• 臨界定数および特異項を伴う状況下で、ネハリ多様体および繊維写像法を用いて解の多重性を調査すること。

提案手法

• 問題に付随するエネルギー汎関数を分数的ソボレフ空間 $X_0$ 内で最小化するために、変分法が用いられる。
• エネルギー汎関数の強収縮性および弱下半連続性を活用して、直接的変分法により弱解の存在が証明される。
• 小規模な $\lambda$ に対して解を構成するために、下・上解法が適用され、分数階 $p$-ラプラシアンの第一固有関数 $\phi_1$ が下界として用いられる。
• ネハリ多様体アプローチを用いて解の構造を分析し、$\alpha < p^*_s - 1$ の場合に多重解の存在を確立する。
• $(u + 1/n)^{-q}$ に $u^{-q}$ を置き換えた正則化問題を用いて近似列を構成し、分布的解の存在を証明する。
• 事前推定および収束議論を用いて正則化問題における極限に移行し、解が弱い意味で元の方程式を満たすことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パrameter $\lambda$、$q$、$\alpha$ がどのような条件下で、特異非線形項 $\lambda u^{-q} + u^{\alpha}$ を有する分数階 $p$-ラプラシアン問題が正の弱解を有するか？
• RQ2 臨界定数 $p^*_s = \frac{np}{n-sp}$ は、非局所的 $p$-ラプラシアン設定における解の存在および多重性にどのように影響するか？
• RQ3 特異項と臨界定数の両方の効果を扱うために、変分法を非局所方程式に適応できるか？
• RQ4 第一固有関数 $\phi_1$ は、小規模な $\lambda$ に対して下解を構成し、解の存在を証明する際に果たす役割は何か？
• RQ5 解は一意的か、それとも $\alpha$ や $\lambda$ の特定の範囲では複数の正の解が存在しうるか？

主な発見

• すべての $\lambda \in (0, \Lambda)$ に対して、$\Lambda > 0$ が閾値であるとき、$X_0$ 内に少なくとも1つの正の弱解が存在する。
• 下・上解法を用いて解の存在が確立され、$t\phi_1$ を下解とし、より大きな $\lambda_0$ における解から構成された上解 $\overline{u}$ を用いる。
• エネルギー汎関数 $J_\lambda(u) = \frac{1}{p}\int_Q \frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{n+sp}} \, dxdy - \lambda \int_\Omega G_q(u) \, dx$ は強収縮的で、下界が存在し、弱下半連続であるため、最小化子が存在する。
• 最小化子 $u_0$ は、$0 < q < 1$ の場合、適切な下解の構成と切断技術を用いて、特異問題 $(-\Delta_p)^s u = \lambda u^{-q}$ の正の弱解であることが示される。
• $\alpha < p^*_s - 1$ の場合、ネハリ多様体および繊維写像法の構造のおかげで、複数の正の解が存在する。
• この手法は純粋特異ケース $(-\Delta_p)^s u = \lambda u^{-q}$ に拡張可能であり、同じ変分法および下・上解法フレームワークを用いて、$\lambda$ が小さい場合に正の解が存在することを証明する。