[論文レビュー] On distributional properties of perpetuities

Gerold Alsmeyer, Alexander Iksanov+1 more|ArXiv.org|Mar 26, 2008

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、確率的重み付け系列のほとんど確実な極限として定義される永続分布（perpetuity distributions）が、退化型、絶対連続型、連続特異型のいずれかの純粋型であることを確立する。p次のモーメントおよび指数モーメントの有限性の必要十分条件を提示し、モーメント母関数の収束座標の公式を、確率的固定点方程式とマルティンググール技法に基づく新しい確率的議論を用いて導出する。

ABSTRACT

We study probability distributions of convergent random series of a special structure, called perpetuities. By giving a new argument, we prove that such distributions are of pure type: degenerate, absolutely continuous, or continuously singular. We further provide necessary and sufficient criteria for the finiteness of $p$-moments, $p>0$ as well as exponential moments. In particular, a formula for the abscissa of convergence of the moment generating function is provided. The results are illustrated with a number of examples at the end of the article.

研究の動機と目的

• 一般条件下での永続分布の分布型（退化型、絶対連続型、連続特異型）を特定すること。
• 永続分布のp次のモーメントおよび指数モーメントの有限性の必要十分条件を確立すること。
• 永続分布のモーメント母関数の収束座標の公式を導出すること。
• 従来の解析的アプローチとは異なる、新しい確率的証明を用いて非退化永続分布の連続性を確立すること。
• 具体的な例（安定分布やサイズバイアス分布など）を提示し、分枝ランダムウォークやショットノイズ過程などの広範な確率過程と関連付けること。

提案手法

• 確率的固定点方程式 $ Z \overset{d}{=} Q + MZ $ を用い、$ (M,Q) $ が i.i.d. な確率的ベクトルであると仮定し、非退化性のもとで永続分布 $ Z_\infty $ の分布が一意に解として存在することを特徴づける。
• 確率的再帰の構造とマルティンググール収束に基づく、新しい確率的議論を用いて、$ Z_\infty $ の分布が純粋型であることを証明する。
• モーメント母関数の分析とコーシー＝ハダマールの公式を用い、収束座標 $ r(Z_\infty) $ を導出し、$ s < r(Z_\infty) $ に対して $ \mathbb{E}[e^{sZ_\infty}] < \infty $ が成り立つことを示す。
• 条件 $ \mathbb{P}(M=0)=0 $ およびすべての $ c \in \mathbb{R} $ に対して $ \mathbb{P}(Q+Mc=c)<1 $ の下で、$ p > 0 $ に対して $ \mathbb{E}|Z_\infty|^p < \infty $、$ \mathbb{E}|M|^p < 1 $、$ \mathbb{E}|Q|^p < \infty $ が同値であることを用いる。
• 特定の例における $ Z_\infty $ のラプラス変換を分析し、絶対連続性を検証するとともに、理論的結果を図示する。特に、$ \mathcal{L}(Z_\infty) $ が $ \mathcal{L}(Q) $ のサイズバイアス版である場合を扱う。
• 理論を応用し、$ \mathbb{E}[Z_\infty^n] = \frac{n!}{a^n (1-\mathbb{E}M)(1-\mathbb{E}M^2)\cdots(1-\mathbb{E}M^n)} $ などの階乗モーメントの正確な表現を導出し、それらを用いてコーシー＝ハダマールの公式により収束座標を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 永続分布の分布が退化型、絶対連続型、連続特異型のいずれであるかの条件は何か？
• RQ2 p > 0 に対して、永続分布のp次のモーメントの有限性の必要十分条件は何か？
• RQ3 永続分布のモーメント母関数の収束座標の正確な公式は何か？
• RQ4 特性関数の分析やモーメントの仮定に依存せずに、永続分布の連続性を確立できるか？
• RQ5 モーメント条件は、永続分布の尾部挙動および指数モーメントの有限性とどのように関連するか？

主な発見

• 条件 $ \mathbb{P}(M=0)=0 $ および $ |Z_\infty| < \infty $ a.s. の下で、$ Z_\infty $ の分布は純粋型である：退化型、絶対連続型、または連続特異型のいずれかである。
• $ p > 0 $ に対して、$ \mathbb{E}|Z_\infty|^p < \infty $ は、非退化性条件 $ \mathbb{P}(Q + Mc = c) < 1 $（すべての $ c \in \mathbb{R} $ に対して）のもとで、$ \mathbb{E}|M|^p < 1 $ および $ \mathbb{E}|Q|^p < \infty $ と同値である。
• モーメント母関数の収束座標 $ r(Z_\infty) $ は方程式 $ \frac{\mathbb{E}[e^{sQ}]}{\mathbb{E}[e^{sQ} \mathbf{1}_{\{M=1\}}]} = 1 $ の唯一の正の解として与えられ、同値に $ r(Z_\infty) = a \mathbb{P}(M < 1) $ と表せる（$ Q \sim \text{Exp}(a) $ かつ $ M \in [0,1] $ a.s. の場合）。
• $ M $ が密度関数を持ち、$ Q $ が指数分布に従う場合、$ Z_\infty $ の分布は絶対連続であり、そのラプラス変換は $ \mathbb{E}[e^{-sZ_\infty}] = e^{-b\sqrt{s}} $ と表され、指数 $ 1/2 $ の正の安定分布に対応する。
• $ \mathcal{L}(Z_\infty) $ が $ \mathcal{L}(Q) $ のサイズバイアス版である場合、$ \mathcal{L}(M) $ が絶対連続であれば、分布は依然として絶対連続のままである。
• $ Q \sim \text{Exp}(a) $、$ M \in [0,1] $、$ \mathbb{E}[M] < 1 $ の場合、階乗モーメントは $ \mathbb{E}[Z_\infty^n] = \frac{n!}{a^n \prod_{k=1}^n (1 - \mathbb{E}[M^k])} $ を満たし、収束座標は $ r(Z_\infty) = a \mathbb{P}(M < 1) $ となる。これは一般公式を確認する。