[論文レビュー] On Extremal Graphs of Weighted Szeged Index

Jan Bok, Boris Furtula+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2019

Graph theory and applications参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、重み付きSzeged指数（wSz）というトポロジカルグラフ不変量の極値的性質を調査する。木の族において星型グラフがwSzを最大化することを証明し、すべての連結グラフにおいては、バランスの取れた完全二部グラフ $K_{\lfloor n/2\rfloor,\lceil n/2\rceil}$ が最大化すると予想する。最小化に関しては、コンピュータ探索を用いて最小木の構造的制約を同定し、最小wSzグラフが常に木であると予想する。

ABSTRACT

An extension of the well-known Szeged index was introduced recently, named as weighted Szeged index ($ extrm{sz}(G)$). This paper is devoted to characterizing the extremal trees and graphs of this new topological invariant. In particular, we proved that the star is a tree having the maximal $ extrm{sz}(G)$. Finding a tree with the minimal $ extrm{sz}(G)$ is not an easy task to be done. Here, we present the minimal trees up to 25 vertices obtained by computer and describe the regularities which retain in them. Our preliminary computer tests suggest that a tree with the minimal $ extrm{sz}(G)$ is also the connected graph of the given order that attains the minimal weighted Szeged index. Additionally, it is proven that among the bipartite connected graphs the complete balanced bipartite graph $K_{\left\lfloor n/2 ight floor\left\lceil n/2 ight ceil}$ attains the maximal $ extrm{sz}(G)$\,. We believe that the $K_{\left\lfloor n/2 ight floor\left\lceil n/2 ight ceil}$ is a connected graph of given order that attains the maximum $ extrm{sz}(G)$.

研究の動機と目的

• 重み付きSzeged指数（wSz）—最近導入されたトポロジカル記述子—を極値化するグラフを同定すること。
• 星型グラフが最大のwSzを達成することを証明し、どの木がwSzを最大化するかを特定すること。
• 計算的証拠に基づき、すべての連結グラフの中で最小のwSzを持つグラフが木であるかどうかを調査すること。
• 25頂点までコンピュータで生成された例を用いて、wSzを最小化する木の構造的性質を同定すること。
• すべての $n$ 頂点の連結グラフの中で、バランスの取れた完全二部グラフ $K_{\lfloor n/2\rfloor,\lceil n/2\rceil}$ がwSzを最大化すると予想すること。

提案手法

• 非星型木から星型木に変換することでwSzが増加することを示すことで、星型グラフの最大性を証明する。そのために、辺の収縮とインデックス差の分析を用いる。
• 変換に基づく証明戦略を採用：非星型部分木をより中心に近い構造に置き換えることでwSzを増加させる。
• 頂点の分割と次数加重寄与を用いて、元の木と変換後の木の間のwSz値の差（$\Delta$）を組合せ的に計算する。
• コンピュータによる列挙を用いて、25頂点までの最小wSz木を生成し、繰り返し現れる構造的パターンを同定する。
• 非最小構成を除外するための構造的制約（例：4本の放射線を含まない、3次の頂点が2つの3本の放射線に隣接しない）を適用する。
• 定義 $wSz(G) = \sum_{e=\{uv\} \in E(G)} [\deg(u)+\deg(v)] \cdot n_u(e) \cdot n_v(e)$ を用いる。ここで $n_u(e)$ は $u$ に対して $v$ より近い頂点の数を表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $n$ 頂点の木の中で、どの木が重み付きSzeged指数を最大化するか？
• RQ2 すべての $n$ 頂点のグラフの中で、どの連結グラフが重み付きSzeged指数を最大化するか？
• RQ3 すべての $n$ 頂点の木の中で、どの木が重み付きSzeged指数を最小化するか？
• RQ4 最小wSz木が示す構造的性質は何か？
• RQ5 すべての連結グラフの中で最小のwSzを持つグラフは、必ず木であるか？

主な発見

• 星型グラフ $S_n = K_{1,n-1}$ は、すべての $n$ 頂点の木の中で最大の重み付きSzeged指数を達成する。
• すべての二部グラフにおいて、バランスの取れた完全二部グラフ $K_{\lfloor n/2\rfloor,\lceil n/2\rceil}$ が重み付きSzeged指数を最大化する。
• $n \geq 7$ の場合、最小wSz木は4本の放射線（中心頂点から出る4辺のパス）を含まない。
• $n > 7$ の場合、最小wSz木における3次の頂点は、2つの3本の放射線（3辺のパス）に隣接しない。
• 4本の放射線または2つの3本の放射線を含む木への変換における差 $\Delta = wSz(T_{\min}) - wSz(T)$ は正である（例：$n \geq 7$ に対して $\Delta = 2n - 12 > 0$）。これは非最小性を示す。
• 25頂点までのコンピュータ生成最小木の結果から、すべての連結グラフの中で最小のwSzグラフはおそらく木であることが示唆され、予想2を支持する。