[論文レビュー] On generalized Hilbert-Kunz function and multiplicity

Hailong Dao, Ilya Smirnov|arXiv (Cornell University)|May 8, 2013

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 29被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、正標数の局所環上の有限生成加群に対して、フロベニウス引き戻しと局所コホホロジーを用いて定義される一般化されたヒルベルト＝クンツ関数および多重度を導入する。優れた、等次元的で、局所コーエン・マカウレーな条件下で、一般化されたヒルベルト＝クンツ多重度の存在を証明し、完遂交差の場合、その多重度がゼロであることは、加群の射影次元がクルール次元未満であることと同値であることを示す。

ABSTRACT

Let $(R,\mathfrak m)$ be a local ring of characteristic $p>0$ and $M$ a finitely generated $R$-module. In this note we consider the limit: $\lim_{n o \infty} \frac{\ell(H^0_{\mathfrak m}(F^n(M)))}{p^{n\dim R}} $ where $F(-)$ is the Peskine-Szpiro functor. A consequence of our main results shows that the limit always exists when $R$ is excellent and has isolated singularity. Furthermore, if $R$ is a complete intersection, then the limit is 0 if and only if the projective dimension of $M$ is less than the Krull dimension of $R$. We exploit this fact to give a quick proof that if $R$ is a complete intersection of dimension $3$, then the Picard group of the punctured spectrum of $R$ is torsion-free. Our results work quite generally for other homological functors and can be used to prove that certain limits recently studied by Brenner exist over projective varieties.

研究の動機と目的

• 古典的なヒルベルト＝クンツ理論を、${\mathfrak{m}}$-主理想に限らない、正標数における任意の有限生成加群へ拡張すること。
• 一般化されたヒルベルト＝クンツ関数 $ f_{gHK}^M(n) = \ell(\operatorname{H}^0_{{\mathfrak{m}}}(M \otimes_R {}^nR)) $ およびその漸近的極限 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) $ の定義と研究。
• 極限 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) $ の存在を保証する条件を確立すること、特に孤立特異点および完遂交差の文脈において。
• 結果を応用して、3次元の完遂交差の穴あきスペクトルのピカール群が torsion-free であることを証明すること。
• 他のホモロジー的関手、たとえば高次局所コホホロジーおよび $ \operatorname{Tor} $ へと枠組みを一般化し、関連する極限の存在を示すこと。

提案手法

• 第 $ n $ 回のフロベニウス引き戻し $ {}^nR $ と 0 次局所コホホロジー加群 $ \operatorname{H}^0_{{\mathfrak{m}}}(M \otimes_R {}^nR) $ を用いて、一般化されたヒルベルト＝クンツ関数を定義する。
• ペスキーネ＝シュピロ関手およびフロベニウス自己準同型の性質を用いて、長さ関数 $ f_{gHK}^M(n) $ の増大度を分析する。
• アドランド＝ブルクヴァイツ近似および超曲面における周期的分解を用いて、$ \operatorname{Tor}_i^R(L, {}^nR) $ を一般化された関数に関連付ける。
• 超曲面における最小分解の 2-周期性および $ \theta $-関数の振る舞いを活用して、$ \operatorname{Tor} $-加群の長さを制御する。
• グロテンディーク群を用いて、$ \operatorname{IPD}(M) \subseteq \{\mathfrak{m}\} $ のとき $ \theta(M, {}^nR) = 0 $ であることを示し、$ f_{gHK}^M(n) $ の分解を可能にする。
• 有限長加群への還元およびアニュレーターにおける正則列の使用により、高次局所コホホロジーに対する極限の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたヒルベルト＝クンツ多重度 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) = \lim_{n\to\infty} \frac{\ell(\operatorname{H}^0_{{\mathfrak{m}}}(M \otimes_R {}^nR))}{p^{nd}} $ が存在する条件は何か？
• RQ2 完遂交差環 $ R $ に対して $ \operatorname{e_{gHK}}(M) = 0 $ となるのはいつか？ そしてこれは $ M $ の射影次元とどのように関係するか？
• RQ3 一般化されたヒルベルト＝クンツ関数は、特に超曲面の場合に、より単純な関数の差に分解可能か？
• RQ4 高次 $ k $ に対して $ \ell(\operatorname{H}^k_{{\mathfrak{m}}}(F^n(M))) $ の漸近的挙動は何か？ そして極限が存在するのはいつか？
• RQ5 この理論を $ \operatorname{Tor} $ や $ \operatorname{Ext} $ のような他のホモロジー的関手へどのように一般化できるか？

主な発見

• 優れた、等次元的で、穴あきスペクトル上で局所コーエン・マカウレーな局所環に対して、一般化されたヒルベルト＝クンツ多重度 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) $ は存在する。
• コーエン・マカウレー環では、完全な優性仮定を要せずとも、極限 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) $ の存在が保証される。
• 完遂交差環では、$ \operatorname{e_{gHK}}(M) = 0 $ であることは、$ \operatorname{pd}_R M < \dim R $ であることと同値であり、これによりホモロジー的特徴づけが得られる。
• 孤立特異点を持つ超曲面上の加群に対して、一般化された関数 $ f_{gHK}^M(n) $ は、2つのこのような関数の差として表現可能である。
• 加群が穴あきスペクトル上で局所自由であるとき、$ k \geq 1 $ に対して $ \lim_{n\to\infty} \frac{\ell(\operatorname{H}^k_{{\mathfrak{m}}}(F^n(M)))}{p^{nd}} $ の極限は存在する。
• 理論により、3次元の完遂交差の穴あきスペクトルのピカール群が torsion-free であることが示され、これは $ \operatorname{e_{gHK}}(M) $ のゼロ化に起因する。