[論文レビュー] On Gromov-Witten theory of projective bundles

Honglu Fan, Yuan-Pin Lee|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、滑らかで射影的かつトーラス作用をもつ多様体 $Y$ 上の射影バンドル $\mathbb{P}(V_1)$ と $\mathbb{P}(V_2)$ の genus zero の等変 Gromov-Witten 不変量が、$V_1$ と $V_2$ が同じ等変チャーン類をもつ限り同型であることを確立する。仮想局所化と等変変形技術を用いて、著者たちはこのような射影バンドルの Gromov-Witten 理論が、基底 $Y$ とバンドルの総等変チャーン類にのみ依存することを証明し、非分解型ベクトルバンドルに対する量子版の分割原理を提供する。

ABSTRACT

Given two equivariant vector bundles over an algebraic GKM manifold with the same equivariant Chern classes, we show that the genus zero equivariant Gromov--Witten theory of their projective bundles are naturally isomorphic.

研究の動機と目的

• 非分解型ベクトルバンドルをもつ射影バンドルに対する量子版の分割原理を確立すること。
• Gromov-Witten 不変量 $\mathbb{P}(V)$ が基底 $Y$ と総等変チャーン類 $c_T(V)$ にのみ依存することを示すこと。
• 等変局所化と変形技術を用いて、既知の分解型バンドルの結果を非分解型バンドルへ拡張すること。
• 同型な等変コホモロジー類が誘導写像 $\mathfrak{F}$ を通じて同型な Gromov-Witten 不変量をもたらすことを証明すること。

提案手法

• 等変 Gromov-Witten 理論における仮想局所化を用いて、$T$-不変な安定写像上の不変量を計算する。
• ラグランジュアン・コーン形式を用いて、射影バンドルとその退化形の Gromov-Witten ポテンシャルを関連付ける。
• $T$-不変な安定写像を符号化し、仮想正規バンドルを計算するために装飾付きグラフを用いる。
• 同じチャーン類をもつ $\mathbb{P}^1$ 上の等変ベクトルバンドルは、モジュライスタックの連結性により変形同値であるという事実を利用する。
• 仮想局所化から導かれる再帰関係を用いて、異なるバンドル間の不変量を関連付ける。
• 局所化公式における等変エULER類の逆元性を用いて、$x=0$ における適切な極限が保証されることを確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gromov-Witten 理論 $\mathbb{P}(V)$ は、基底 $Y$ と総等変チャーン類 $c_T(V)$ にのみ依存するか？
• RQ2 量子分割原理を非分解型ベクトルバンドルへ拡張できるか？
• RQ3 $c_T(V_1) = c_T(V_2)$ のとき、$\mathbb{P}(V_1)$ と $\mathbb{P}(V_2)$ の Gromov-Witten 不変量間に同型が存在するか？
• RQ4 等変変形技術は、非分解型バンドルの Gromov-Witten 不変量を計算する際、ファイバーごとのトーラス作用を置き換えることができるか？

主な発見

• 基底 $Y$ と総等変チャーン類 $c_T(V)$ が同じである限り、$\mathbb{P}(V_1)$ と $\mathbb{P}(V_2)$ の genus zero の等変 Gromov-Witten 不変量は、コホモロジーと曲線類への誘導写像 $\mathfrak{F}$ を通じて同型である。
• $V$ が分解型でない場合でさえも、$\mathbb{P}(V)$ の Gromov-Witten 理論は基底 $Y$ と総等変チャーン類 $c_T(V)$ に完全に依存する。
• 同型 $\mathfrak{F}$ を通じて、$\mathbb{P}(V_1)$ と $\mathbb{P}(V_2)$ のラグランジュアン・コーンが同一視され、すべての genus-zero 不変量の同値性が保証される。
• 仮想正規バンドルのエULER類は $x=0$ で適切な極限を持ち、かつその逆元が存在するため、証明における局所化の適用が可能になる。
• 同じチャーン類をもつ $\mathbb{P}^1$ 上の等変ベクトルバンドルは、あるファミリーによって接続可能であり、Gromov-Witten 不変量の変形不変性が保証される。
• 定理 3.5 における再帰関係は、$\mathbb{P}(V_1)$ と $\mathbb{P}(V_2)$ に対して同一に成り立つため、$\mathfrak{F}$ を通じた Gromov-Witten ポテンシャルの不変性が証明される。