[論文レビュー] On minimal singular metrics of certain class of line bundles whose section ring is not finitely generated

Takayuki Koike|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、楕円曲線上の12個の点における $\mathbb{P}^2$ の吹き上げ上に、特定のネフかつビッグなラインバンドルに対して、滑らかなヘルミート計量が半正の曲率を持つことを確立している。これは、それらのラインバンドルの切断環が非有限生成であるにもかかわらず成り立つ。主な手法は、滑らかな超曲面の滑らかなチューブ近傍上で均衡計量を用いた最小特異計量の構成であり、法 bundle に曲率および正性条件を課すことにより、高次元への一般化を達成している。

ABSTRACT

Our interest is a regularity of a minimal singular metric of a line bundle. One main conclusion of our general result in this paper is the existence of continuous Hermitian metrics with semi-positive curvatures on the so-called Zariski's example of a line bundle defined over the blow-up of $\mathbb{P}^2$ at some twelve points. This is an example of a line bundle which is nef, big, not semi-ample, and whose section ring is not finitely generated. We generalize this result to the higher dimensional case when the stable base locus of a line bundle is a smooth hypersurface with a holomorphic tubular neighborhood.

研究の動機と目的

• 切断環が有限生成でない場合、特にザリスキの例のような病理的ケースにおいて、ラインバンドルの最小特異計量の正則性を解明すること。
• 擬効果的ラインバンドルの最小特異計量が滑らかな超曲面に滑らかに拡張される条件を確立すること。
• 半アーメブルラインバンドルを超えた、滑らかなヘルミート計量が半正の曲率を持つことを保証する条件を一般化し、安定基底系列が滑らかな超曲面で、かつその滑らかなチューブ近傍を持つ場合を含む。
• 除数上での $\mathbb{R}$-ラインバンドルの均衡計量を用いた、最小特異計量の明示的解析的構成を提供すること。

提案手法

• 滑らかな射影多様体 $X$ 内の滑らかな超曲面 $D$ が滑らかなチューブ近傍を持つことの存在を用い、計量構成問題を $\mathbb{P}^1$-バンドルの設定に還元する。
• 定理 1.3 を適用して、Bergman 核法を用い、$\mathbb{P}(L)$ への制限により $\mathcal{O}_{\mathbb{P}(A\oplus L)}(1)$ 上に最小特異計量を構成し、これにより $L$ 上に最小特異計量を得る。
• $t \in [0,1]$ に対して $\mathbb{R}$-ラインバンドル $tA|_D + (1-t)L|_D$ の均衡計量を用い、$D$ の近傍での計量を明示的に記述する。
• 正則化された max 関数を用いて局所計量を滑らかに貼り合わせ、点ごとの max を置き換え、擬・シュワルツ関数性と滑らかさを保証する。
• $L$ 上に最小特異計量を構成する問題を、$X \setminus D$ 上の特異計量を、$D$ のチューブ近傍上で構成した計量に置き換えることにより還元し、$\mathbb{P}^1$-バンドルの結果を活用する。
• Grauert の定理を適用し、$(D^2) < \min\{0, 4 - 4g\}$ のとき、滑らかなチューブ近傍が存在することを保証する。これは、ザリスキの例において $g=1$ かつ $(D^2) = -3$ のとき成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬効果的ラインバンドルの最小特異計量が、滑らかなチューブ近傍を持つ滑らかな超曲面に滑らかに拡張される条件は何か？
• RQ2 切断環が有限生成でないネフかつビッグラインバンドルに、滑らかなヘルミート計量が半正の曲率を持つことは可能か？
• RQ3 ラインバンドル $L$ の最小特異計量が、$L|_D$ が擬効果的で、$D$ が滑らかなチューブ近傍を持つとき、$D$ 上への制限が $L|_D$ の最小特異計量になるか？
• RQ4 除数上での $\mathbb{R}$-ラインバンドルの均衡計量を用いて、$L$ の近傍における明示的最小特異計量をどのように構成できるか？
• RQ5 $L|_D$ が半正で、法 bundle 条件を満たすとき、$L$ の最小特異計量は局所的に有界か？

主な発見

• 楕円曲線 $C$ 上の12個の一般点における $\mathbb{P}^2$ の吹き上げ $X$ 上のラインバンドル $L = \mathcal{O}_X(H + D)$ は、$L$ がネフかつビッグで、半アーメブルではなく、切断環が非有限生成であるにもかかわらず、滑らかなヘルミート計量が半正の曲率を持つ。
• ザリスキの例では、$(D^2) = -3$ かつ $g(D) = 1$ であることから、滑らかなチューブ近傍の存在が保証され、定理 1.2 の仮定を満たす。
• $L|_D$ が半正のとき、系理 3.5 より $L$ 自身が半正であることが従い、滑らかな半正計量の存在に十分な条件が得られる。
• $L$ の最小特異計量は $X \setminus D$ 上で局所的に有界で滑らかであり、$L|_D$ が擬効果的である限り、$D$ 上への制限は $L|_D$ の最小特異計量となる。
• $D$ の近傍での最小特異計量の構成は、$t \in [0,1]$ に対して $tA|_D + (1-t)L|_D$ の均衡計量を用いて明示的に記述されており、滑らかな調和関数を除いて、定理 2.2 と同形式の計量が得られる。
• この結果はマムフォードの例へ一般化可能である：滑らかな曲面 $X$、非常に正則な除数 $A$、$(D^2) < 0$ かつ ${\rm Pic}(X) \to {\rm Pic}(D)$ が単射であるような曲線 $D$ に対して、$L = \mathcal{O}_X(bA + aD)$ は $b$ が十分に大きいとき、$p_0 = 1$ ならば半正である。