[論文レビュー] On mirabolic D-modules

Michael Finkelberg, Victor Ginzburg|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、G-多様体Xに有限個の軌道を持つとき、D層$\mathscr{D}/\mathscr{D}^\,\mathfrak{g}$が開稠密な軌道上のG--equivariant局所系統の直接像に同型であるための基準を確立する。この基準を$X = \mathcal{B} \times \mathcal{B} \times \mathbb{P}^{n-1}$、$G = SL_n$に対して適用し、$G \times \mathbb{P}^{n-1}$上のミラビックD層と$X$上のD層を結ぶ、対応する随伴関手$({\mathsf{CH}}, {\mathsf{HC}})$を導入し、ミラビックD層のアーベル圏上で$\mathsf{HC}$が完全であることを証明する。

ABSTRACT

Let an algebraic group G act on X, a connected algebraic manifold, with finitely many orbits. For any Harish-Chandra pair (D,G) where D is a sheaf of twisted differential operators on X, we form a left ideal D.g in D generated by the Lie algebra g, of G. Then, D/D.g is a holonomic D-module and its restriction to a unique Zariski open dense G-orbit in X is a G-equivariant local system. We prove a criterion saying that the D-module D/D.g is isomorphic, under certain (quite restrictive) conditions, to a direct image of that local system to X. We apply this criterion in the special case where the group G=SL(n) acts diagonally on X = F imes F imes P^{n-1}, a triple product where F is the flag manifold for SL(n) and P^{n-1} is the projective space. We further relate D-modules on F imes F imes P^{n-1} to D-modules on the space SL(n) imes P^{n-1} via a pair, CH, HC, of adjoint functors, analogous to those used in Lusztig's theory of character sheaves. A second important result of the paper provides an explicit description of these functors showing that the functor HC gives an exact functor on the abelian category of mirabolic D-modules.

研究の動機と目的

• G-多様体$X$上のD層$\mathscr{D}/\mathscr{D}^\,\mathfrak{g}$が、開稠密な軌道上のG--equivariant局所系統の直接像に同型である条件を特定すること。
• Lusztigのキャラクターシーブ関手に類似した、対応する随伴関手$({\mathsf{CH}}, {\mathsf{HC}})$を用いて、$G \times \mathbb{P}^{n-1}$上のミラビックD層の圏を研究すること。
• $\mathsf{HC}$関手がミラビックD層のアーベル圏上で完全であることを証明し、古典的ハリシュ・チャンドラ理論の結果を拡張すること。
• ミラビックハリシュ・チャンドラD層$\mathcal{G}^{\theta,c}$のモノドロミーを、Riemann-Hilbert対応に関する予想を通じてKnizhnik-Zamolodchikov接続と関連付けること。

提案手法

• G-多様体$X$に有限個の軌道を持つとき、$\mathscr{D}$をねじれ微分作用素層とし、$\mathfrak{g} = \operatorname{Lie} G$として、D層$\mathscr{D}/\mathscr{D}^\,\mathfrak{g}$を構成する。
• 余作用素写像$T^*X \to \mathfrak{g}^*$と$b$関数の根の上限を用いて、$\mathscr{D}/\mathscr{D}^\,\mathfrak{g}$が$ j_*\mathcal{V}^\circ $または$ j_!\mathcal{V}^\circ $（開軌道上の局所系統の直接像）に同型である条件を特定する。
• $G \times \mathbb{P}^{n-1}$上のミラビックD層$\mathcal{G}^{\theta,c} = \mathscr{D}^c / (\mathscr{D}^c \mathfrak{g} + \mathscr{D}^c (\mathfrak{Z}_\theta \otimes 1))$を定義する。ここで$\mathfrak{Z}_\theta$は、G-両側不変微分作用素代数内の極大イデアルである。
• $X = \mathcal{B} \times \mathcal{B} \times \mathbb{P}^{n-1}$上のD層と$G \times \mathbb{P}^{n-1}$上のミラビックD層を結ぶ、随伴関手の対$({\mathsf{CH}}, {\mathsf{HC}})$を導入し、LusztigおよびGinzburgの構成を一般化する。
• $\mathsf{HC}$関手がミラビックD層のアーベル圏上で完全であることを証明し、古典的なハリシュ・チャンドラモジュールに関する結果を拡張する。
• $\mathcal{G}^{\theta,c}|_{\mathfrak{X}^{\operatorname{reg}}}$のde Rham局所系統が$\mathcal{R}_{\Theta,q}$に同型であるという予想を提示し、Morita同値とRiemann-Hilbert対応を用いてKZ接続と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G-多様体$X$上のD層$\mathscr{D}/\mathscr{D}^\,\mathfrak{g}$が、開稠密な軌道上のG--equivariant局所系統の直接像に同型であるための条件は何か？
• RQ2 随伴関手$({\mathsf{CH}}, {\mathsf{HC}})$は、$G \times \mathbb{P}^{n-1}$上のミラビックD層の圏と$\mathcal{B} \times \mathcal{B} \times \mathbb{P}^{n-1}$上のD層の圏をどのように関連付けるか？
• RQ3 $\mathsf{HC}$関手は、古典的ハリシュ・チャンドラ理論と同様に、ミラビックD層のアーベル圏上で完全か？
• RQ4 $\mathfrak{X}^{\operatorname{reg}}$上のミラビックハリシュ・チャンドラD層$\mathcal{G}^{\theta,c}$のモノドロミーは何か？また、Knizhnik-Zamolodchikov接続とどのように関係するか？
• RQ5 Riemann-Hilbert対応が、$c$が良い値のとき、$\mathcal{G}^{\theta,c}|_{\mathfrak{X}^{\operatorname{reg}}}$を局所系統$\mathcal{R}_{\Theta,q}$に送るか？

主な発見

• $G = SL_n$作用を伴う$X = \mathcal{B} \times \mathcal{B} \times \mathbb{P}^{n-1}$上でのD層$\mathscr{D}/\mathscr{D}^\,\mathfrak{g}$は、余作用素写像と$b$関数の根に関する条件を満たすとき、$j_*\mathcal{V}^\circ$または$ j_!\mathcal{V}^\circ $に同型である。
• $({\mathsf{CH}}, {\mathsf{HC}})$の随伴関手対は、$\mathcal{B} \times \mathcal{B} \times \mathbb{P}^{n-1}$上のD層の圏と$G \times \mathbb{P}^{n-1}$上のミラビックD層の圏の間で、Lusztigのキャラクターシーブ枠組みを一般化した導来同値を与える。
• $\mathsf{HC}$関手は、ミラビックD層のアーベル圏上で完全であり、古典的なハリシュ・チャンドラ関手の性質を拡張する。
• ミラビックハリシュ・チャンドラD層$\mathcal{G}^{\theta,c}$は$\mathscr{D}^c / (\mathscr{D}^c \mathfrak{g} + \mathscr{D}^c (\mathfrak{Z}_\theta \otimes 1))$として定義され、その全体切断は球面Cherednik代数$e\mathsf{H}_\kappa e$上の加群をなす。
• $\mathcal{G}^{\theta,c}|_{\mathfrak{X}^{\operatorname{reg}}}$のde Rham局所系統が$\mathcal{R}_{\Theta,q}$に同型であるという予想は、KZモノドロミーに関する既知の結果を用いて、十分一般な$c$に対して確認されている。
• $\mathbb{H}(\mathcal{G}^{\theta,c})$に対応する$\mathsf{H}_\kappa$-加群$\mathcal{P}_{{\theta},c}$は、$\mathsf{H}_\kappa \otimes_{{\mathbb{C}}[\check{\mathbb{T}}]\rtimes W} R_\Theta$に同型であり、モノドロミーをKZ接続と関連付ける。