[論文レビュー] Character D-modules via Drinfeld center of Harish-Chandra bimodules

Roman Bezrukavnikov, Michael Finkelberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複素数の再帰的代数群 G 上のキャラクターダイレクトモジュールの圏と、ハリシュ・チャンドラ双モジュールのアーベルなモノイダル圏のドリンフェルト中心の間で、圏的同値性を確立する。長距離相互作用ファンクターとハリシュ・チャンドラファンクターの正確性の性質を活用することで、著者たちはキャラクターダイレクトモジュールをドリンフェルト中心として実現し、ルスティグの複素数上での単純ユニポテンツキャラクターシーブ分類に対する、新しい幾何的・圏的枠組みを提供する。

ABSTRACT

The category of character D-modules is realized as Drinfeld center of the abelian monoidal category of Harish-Chandra bimodules. Tensor product of Harish-Chandra bimodules is related to convolution of D-modules via the long intertwining functor (Radon transform) by a result of Beilinson and Ginzburg. Exactness property of the long intertwining functor on a cell subquotient of the Harish-Chandra bimodules category shows that the truncated convolution category can be realized as a subquotient of the category of Harish-Chandra bimodules. Together with the description of the truncated convolution category arXiv:math/0605628v3 this allows us to derive classification of irreducible character sheaves over $\mathbb C$ obtained by Lusztig by a different method. We also give a simple description for the top cohomology of convolution of character sheaves over $\mathbb C$ in a given cell modulo smaller cells and relate the so-called Harish-Chandra functor to Verdier specialization in the De Concini-Procesi compactification.

研究の動機と目的

• 複素数の再帰的代数群 G 上のキャラクターダイレクトモジュールの新しい幾何的・圏的解釈を提供すること。
• 一般化中心特徴が自明なハリシュ・チャンドラ双モジュールの圏のドリンフェルト中心が、キャラクターダイレクトモジュールの圏と同値であることを確立すること。
• やや技術的な仮定の下で、圏的技法を用いて、複素数上での単純ユニポテンツキャラクターシーブの分類を回復すること。
• ハリシュ・チャンドラファンクターとデ・コンチニ・プロセッチのコンパクト化におけるヴェルディエ専用の関係を特定すること。
• セルの下位セルを除いたキャラクターシーブの畳み込みの上位コホモロジーを、切断畳み込み圏を用いて記述すること。

提案手法

• キャラクターダイレクトモジュールの圏を、ハリシュ・チャンドラ双モジュールのアーベルなモノイダル圏のドリンフェルト中心として実現すること。
• 長距離相互作用ファンクター（ラドン変換）を用いて、ハリシュ・チャンドラ双モジュールのテンソル積とダイレクトモジュールの畳み込みを関係づけること。
• ベイリソン＝バーナイン双対性を用いて、ハリシュ・チャンドラファンクターと全体切断ファンクターの直和成分の合成の正確性を証明すること。
• 中心のモリタ不変性を適用し、HC^λ̂ のドリンフェルト中心とキャラクターダイレクトモジュールの圏との関係を結ぶこと。
• セルの商圏を介して、切断畳み込み圏をハリシュ・チャンドラ双モジュールの圏の部分商圏として実現すること。
• マングラング＝カシワラの V-フィルトレーションと専用を用いて、ハリシュ・チャンドラファンクターとデ・コンチニ・プロセッチのコンパクト化におけるヴェルディエ専用を関係づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G 上のキャラクターダイレクトモジュールは、どのようにハリシュ・チャンドラ双モジュールの圏のドリンフェルト中心として実現できるか？
• RQ2 長距離相互作用ファンクターは、ハリシュ・チャンドラ双モジュールのテンソル積とダイレクトモジュールの畳み込みをどのように関係づけるか？
• RQ3 ハリシュ・チャンドラファンクター（全体切断と合成）の正確性は、ドリンフェルト中心の構成をどのように可能にするか？
• RQ4 切断畳み込み圏は、ハリシュ・チャンドラ双モジュールの圏にどのように埋め込まれるか？また、これはセル理論とどのように関係するか？
• RQ5 ハリシュ・チャンドラファンクターは、デ・コンチニ・プロセッチのコンパクト化におけるヴェルディエ専用とどのように関係するか？

主な発見

• 一般化中心特徴が自明なハリシュ・チャンドラ双モジュールの圏のドリンフェルト中心は、G 上のキャラクターダイレクトモジュールの圏と自然に同値である。
• 与えられたセル内で、より小さいセルを除いたキャラクターシーブの畳み込みの上位コホモロジーは、切断畳み込み圏によって記述される。
• ハリシュ・チャンドラファンクターは、デ・コンチニ・プロセッチのコンパクト化におけるストラトムの穴あき正規包上のダイレクトモジュールからダイレクトモジュールへのヴェルディエ専用ファンクターと同定される。
• キャラクターダイレクトモジュールの圏は、カテゴリカルヘッケ代数のドリンフェルト中心と同値であり、G(F_q) の群代数の中心をカテゴリファイする。
• やや技術的な仮定の下で、ドリンフェルト中心構成を用いて、複素数上での単純ユニポテンツキャラクターシーブの分類が回復される。
• 支配的重み λ に対して、D-モジュールの λ-次数全体切断とその専用の間の自然な写像は、移動ファンクターと局所化定理を用いて同型であることが示される。