[論文レビュー] On Mixing Properties of Reversible Markov Chains

Richard C. Bradley|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2014

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、可逆でハリス再帰的なマルコフ連鎖に対して、$\rho^*$-mixing 条件が、$\rho$-mixing や絶対的正規性、情報正規性といった他の標準的な混合条件と同値でない反例を構成する。これは、可算状態空間、低 marginal エントロピー、指数的混合率といった好都合な条件下ですら成り立つ。主な貢献は、このクラスにおいて幾何的エルゴドゥーシティから $\rho^*$-mixing が導かれないことを証明し、長年の未解決問題であった混合条件の階層に関する疑問を解消したことにある。

ABSTRACT

It is well known that for a strictly stationary, reversible, Harris recurrent Markov chain, the $ρ$-mixing condition is equivalent to geometric ergodicity and to a "spectral gap" condition. In this note, it will be shown with an example that for that class of Markov chains, the "interlaced" variant of the $ρ$-mixing condition fails to be equivalent to those conditions.

研究の動機と目的

• 可逆でハリス再帰的なマルコフ連鎖における $\rho^*$-mixing 条件が、混合条件の同値類に含まれるかどうかを特定すること。
• このクラスにおいて $\rho^*$-mixing が幾何的エルゴドゥーシティや他の標準的混合条件から導かれるかどうかを調査すること。
• すべての標準的混合条件（指数的レートを含む）を満たすが $\rho^*$-mixing を満たさない反例を構成すること。
• マルコフ連鎖における依存条件の階層の中で $\rho^*$-mixing の位置を明確にすること。

提案手法

• 可算状態空間 $\{0,1,\dots,N\}$ 上の、$P(Z^{(N)}_0 = 0) \geq 1 - 2^{-N}$ を満たす、厳密に定常的で可逆なマルコフ連鎖 $Z^{(N)}$ の族を構成する。
• $Z^{(N)}$ がすべて $\rho(Z^{(N)},1) \leq r < 1$、$I(Z^{(N)},n) \leq (2^{-N}r)^{2n}$、および $m < N/2$ のとき $\rho(\sigma(Z^{(N)}_0), \sigma(Z^{(N)}_{-m}, Z^{(N)}_m)) \geq 1 - 1/N$ を満たすように保証する。
• プロダクト構成により、$X_k = (Z^{(3)}_k, Z^{(4)}_k, \dots)$ として、可算状態、厳密に定常的で可逆なマルコフ連鎖 $X$ を定義する。
• エントロピーの加法性とカップリング不等式を用いて、$\rho(X,n) \leq r^n$ および $I(X,n) < r^{2n}$ を境界化し、既知の不等式により $\beta(X,n) < r^n$ を示す。
• $N$ が十分に大きいとき $\rho(\sigma(X_0), \sigma(X_{-n}, X_n)) \geq 1 - 1/N$ を確立し、$\rho^*$-mixing の不成立を示す。
• ボレル＝カンテリの補題を用いて、$Z^{(N)}_k \neq 0$ となるのはほとんど至るところで有限回であることを保証し、$X$ の適切な定義を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可逆でハリス再帰的なマルコフ連鎖において、幾何的エルゴドゥーシティから $\rho^*$-mixing が導かれるか。
• RQ2 マルコフ連鎖が幾何的エルゴドゥーシティであり、指数的レートの絶対的正規性と指数的レートの情報正規性を満たすが、$\rho^*$-mixing でないことはあり得るか。
• RQ3 $\rho^*$-mixing 条件は、可逆マルコフ連鎖における標準的混合条件の同値類に含まれるか。
• RQ4 低 marginal エントロピーおよび指数的混合レートを満たすが、$\rho^*$-mixing を満たさない反例を構成可能か。

主な発見

• 構成されたマルコフ連鎖 $X$ は、厳密に定常的で、可逆的であり、可算状態空間を持つ。
• 連鎖は $H(\sigma(X_0)) \leq r$ を満たしており、非常に低い marginal エントロピーを示している。
• $\rho(X,n) \leq r^n$ および $I(X,n) < r^{2n}$ がすべての $n \in \mathbb{N}$ に対して成り立つ。これは $\rho$-mixing と情報正規性の指数的減衰を示している。
• $\beta(X,n) < r^n$ がすべての $n$ に対して成り立つ。これは絶対的正規性が指数的レートで成り立つことを確認している。
• これらの強力な混合性のすべてにもかかわらず、$\rho^*(X,n)$ は $n \to \infty$ のとき 0 に収束しない。よって $X$ は $\rho^*$-mixing でない。
• 反例により、可逆でハリス再帰的なマルコフ連鎖のクラスにおいて、$\rho^*$-mixing が幾何的エルゴドゥーシティや他の標準的混合条件から導かれないことが示された。