[論文レビュー] On O^*-representability and C^*-representability of *-algebras

Stanislav Popovych|ArXiv.org|Sep 24, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、Gröbner基底理論を用いて単項式*-代数における「収縮不能性」の概念を一般化することで、有界または非有界作用素によるヒルベルト空間上への忠実な表現を許容する*-代数の十分な代数的条件を確立する。主な貢献は、Gröbner基底を用いて代表可能性がアルゴリズム的に検証可能な、非拡張*'-代数と呼ばれる*-代数の新クラスの確立である。

ABSTRACT

Characterization of the *-subalgebras in the algebra of bounded operators acting on Hilbert space is presented. Sufficient conditions for the existence of a faithful representation in pre-Hilbert space of a *-algebra in terms of its Groebner basis are given. These conditions are generalization of the unshrinkability of monomial *-algebras introduced by C. Lance and P. Tapper. The applications to *-doubles, monomial *-algebras and several other classes of *-algebras are presented.

研究の動機と目的

• 単項式*-代数における収縮不能性の概念を、より広範な*-代数のクラスへ一般化すること。
• Gröbner基底を用いて*-代数の$O^*$-および$C^*$-代表可能性の十分条件を提示すること。
• 単項式*-代数および*-ダブルを含む*-代数の表現理論を、共通の代数的枠組みの下で統一すること。
• 有限生成*-代数の代表可能性がGröbner基底技術を用いてアルゴリズム的に検証可能であることを確立すること。

提案手法

• 単項式*-代数の一般化として、非拡張*-代数の概念を導入する。
• Gröbner基底理論を用いて、合成に関する閉包性を用いて$O^*$-代表可能な*-代数を定義・特徴づける。
• 因子代数$F/\mathcal{I}$における正規形の計算を可能にする、標準形写像$\mathrm{R}_S$を適用する。これにより、効果的な等価性判定が可能になる。
• 抽象的演算子系のChoi-Effros特徴づけを活用して、$C^*$-代表可能性の基準を導出する。
• アーチメデス型順序単位を有する代数的に許容可能な錐の概念を適用し、$C^*$-代表可能性を特徴づける。
• 完全正定値性（すなわち、$M_n(A)$において$x^*x = 0$ならば$x = 0$）が、広範な*-代数のクラスにおいて$C^*$-代表可能性を十分に保証するが、一般にはそうではないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような代数的条件下で*-代数は$O^*$-代表可能（pre-Hilbert空間上での作用素による忠実な表現が可能）となるか？
• RQ2 Gröbner基底技術を用いて、単項式*-代数における収縮不能性条件をより広いクラスの*-代数へ一般化できるか？
• RQ3 完全正定値性（$x^*x = 0$の非自明な解がないこと）は一般に$C^*$-代表可能性を十分に保証するか、それ以外の条件が必要か？
• RQ4 有限生成*-代数の$O^*$-代表可能性がGröbner基底法を用いてアルゴリズム的に検証可能か？
• RQ5 Gröbner基底と標準形の概念は、*-代数の$O^*$-および$C^*$-代表構造とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、単項式*-代数の一般化としての非拡張*-代数のクラスを導入し、これが$O^*$-代表可能であることを示した。
• 最小のGröbner基底が合成に関して閉じている場合、リーディング・タームを部分語として含まない語の集合が代数の線形基底をなす。
• 標準形写像$\mathrm{R}_S$を用いることで、因子代数における正規形のアルゴリズム的計算が可能となり、効果的な等価性判定が実現される。
• 完全正定値性は、広範な*-代数のクラスにおいて$C^*$-代表可能性を十分に保証するが、一般にはそうではない。Gröbナーベース技術を用いた反例によってこれを示した。
• *-ダブルおよび単項式*-代数の$O^*$-代表可能性が、非拡張*-代数の新しい枠組みの下で統一された。
• アーチメデス型順序単位を有する代数的に許容可能な錐による$C^*$-代表可能性の特徴づけが、既知の結果と同等であることが示され、抽象的行列順序構造から導出された。