[論文レビュー] On Packing Low-Diameter Spanning Trees

Julia Chuzhoy, Merav Parter+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、k-辺連結グラフにおける辺素な木パッキングの直径について、初めて非自明な上界と下界を確立した。任意の直径Dのk-辺連結n頂点グラフに対して、直径O((101k log n)D)、エッジ混雑度最大2のΩ(k)個の辺素な全域木をパッキングできることを示し、さらにその上限がほぼタイトであることを、一致する下界によって示した。これらの結果により、高辺連結性かつ低直径を持つネットワークにおけるMST、最小カット、およびセキュアブロードキャストの効率的分散アルゴリズムが可能になる。

ABSTRACT

Edge connectivity of a graph is one of the most fundamental graph-theoretic concepts. The celebrated tree packing theorem of Tutte and Nash-Williams from 1961 states that every k-edge connected graph G contains a collection 𝒯 of ⌊k/2⌋ edge-disjoint spanning trees, that we refer to as a tree packing; the diameter of the tree packing 𝒯 is the largest diameter of any tree in 𝒯. A desirable property of a tree packing for leveraging the high connectivity of a graph in distributed communication networks, is that its diameter is low. Yet, despite extensive research in this area, it is still unclear how to compute a tree packing of a low-diameter graph G, whose diameter is sublinear in |V(G)|, or, alternatively, how to show that such a packing does not exist. In this paper, we provide first non-trivial upper and lower bounds on the diameter of tree packing. We start by showing that, for every k-edge connected n-vertex graph G of diameter D, there is a tree packing 𝒯 containing Ω(k) trees, of diameter O((101k log n)^D), with edge-congestion at most 2. Karger’s edge sampling technique demonstrates that, if G is a k-edge connected graph, and G[p] is a subgraph of G obtained by sampling each edge of G independently with probability p = Θ(log n/k), then with high probability G[p] is connected. We extend this result to show that the diameter of G[p] is bounded by O(k^(D(D+1)/2)) with high probability. This immediately gives a tree packing of Ω(k/log n) edge-disjoint trees of diameter at most O(k^(D(D+1)/2)). We also show that these two results are nearly tight for graphs with a small diameter: we show that there are k-edge connected graphs of diameter 2D, such that any packing of k/α trees with edge-congestion η contains at least one tree of diameter Ω((k/(2α η D))^D), for any k,α and η. Additionally, we show that if, for every pair u,v of vertices of a given graph G, there is a collection of k edge-disjoint paths connecting u to v, of length at most D each, then we can efficiently compute a tree packing of size k, diameter O(D log n), and edge-congestion O(log n). Finally, we provide several applications of low-diameter tree packing in the distributed settings of network optimization and secure computation.

研究の動機と目的

• 高連結なグラフにおける低直径木パッキングが存在するかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• k-辺連結グラフにおける辺素な木パッキングの直径に関するタイトな上界と下界を確立すること。
• 低直径かつ高連結なネットワークにおけるMST、最小カット、セキュアブロードキャストといった基本的問題に対する効率的分散アルゴリズムを可能にすること。
• 敵対的エッジ盗聴にさらされた分散システムにおけるレジリエントかつ低混雑度通信の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• Kargerのエッジサンプリング技術を活用し、p = Θ(log n / k)の確率でエッジをサンプリングすることで、高確率で直径O(kD(D+1)/2)の連結部分グラフG[p]が得られることを示した。
• サンプリングされた部分グラフG[p]の直径がO(kD(D+1)/2)で抑えられることを証明し、これは直径O(kD(D+1)/2)のΩ(k / log n)個の木パッキングを意味する。
• d-独立なハッシュ関数とd-独立変数のチェルノフ型不等式を用いて、エッジサンプリングの集中度を解析し、低混雑度を保証した。
• 敵対的エッジ盗聴下でも耐性を持つ分散アルゴリズムに一般化するため、(d, c, η, k)サイクルカバーを構築した。
• ランダム遅延技術を適用してサブルーチンを並列化し、全体のラウンド複雑度を制限した。
• k個の低直径全域木に分散されたk個の秘密共有を用いた安全ブロードキャストプロトコルを採用し、盗聴者に対する情報理論的安全性を確保した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k-辺連結グラフにおいて、直径nに比べて非線形（sublinear）であるような、サイズΩ(k)の木パッキングを構築可能か？特にグラフの直径Dが小さい場合に。
• RQ2 k-辺連結グラフにおいて、辺素な木の数、その直径、エッジ混雑度の間で達成可能な最良のトレードオフは何か？
• RQ3 木パッキングの直径境界O((101k log n)D)はタイトか、それとも改善可能か？
• RQ4 定数直径かつn^εの辺連結性を持つグラフにおいて、MSTおよび最小カットのための効率的分散アルゴリズムを設計可能か？
• RQ5 敵対的攻撃者がO(k / log n)個のエッジを監視可能な状況下で、情報理論的安全性を達成する分散ブロードキャストを実現可能か？

主な発見

• 任意のk-辺連結n頂点グラフ（直径D）に対して、直径O((101k log n)D)、エッジ混雑度最大2のΩ(k)個の木パッキングが存在する。
• 任意のk-辺連結n頂点グラフ（直径D）に対して、高確率でΩ(k / log n)個の辺素な木がパッキング可能であり、それぞれの直径はO(kD(D+1)/2)である。
• 上界はほぼタイトである：直径2Dのk-辺連結グラフが存在し、k/α個の木を混雑度ηでパッキングする場合、少なくとも1本の木の直径はΩ((k/(2αηD))^D)以上である。
• 任意の頂点対が長さD以下のk本の辺素パスを持つ場合、サイズk、直径O(D log n)、混雑度O(log n)の木パッキングを効率的に計算可能である。
• n^εの辺連結性と定数直径を持つグラフにおいて、MSTおよび近似最小カットをo(√n)ラウンドで解くアルゴリズムが存在する。
• 敵対的攻撃者がO(k / log n)個のエッジを監視可能な状況下で、情報理論的安全性を保証するブロードキャストプロトコルが存在し、その実行ラウンド数はe^O((101k log n)D)である。