[논문 리뷰] On rectifiable measures in Carnot groups: structure theory

Gioacchino Antonelli, Andrea Merlo|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 29.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 35인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 첫 번째 헤이젠베르크 군 𝕍¹에서 새로운 정규화 개념인 𝔛ₕ-정규화를 도입함으로써, 접선 측도와 밀도 조건을 통해 정의된 일차원 프라이스 유형의 정규화 정리가 수립됨을 보여준다. 양의 유한한 일차 밀도를 갖는 라돈 측도는 접선 평면이 정규 보조군을 갖는 조건을 만족할 경우, ℝ에서 𝕍¹로의 리프시츠 사상의 상의 가산 합집합에 의해 지지됨을 증명한다. 이 조건은 카르노 군의 모든 수평 부분군에 대해 성립한다.

ABSTRACT

In this paper we prove the one-dimensional Preiss' theorem in the first Heisenberg group $\mathbb H^1$. More precisely we show that a Radon measure $\phi$ on $\mathbb H^1$ with positive and finite one-density with respect to the Koranyi distance is supported on a one-rectifiable set in the sense of Federer, i.e., it is supported on the countable union of the images of Lipschitz maps $A\subseteq \mathbb R o\mathbb H^1$. The previous theorem is a consequence of a Marstrand-Mattila type rectifiability criterion, which we prove in arbitrary Carnot groups for measures with tangent planes that admit a normal complementary subgroup. Namely, in this co-normal case, even if we a priori ask that the tangent planes at a point might rotate at different scales, a posteriori the measure has a unique tangent almost everywhere. Since every horizontal subgroup has a normal complement, our criterion applies in the particular case of one-dimensional horizontal subgroups. These results are the outcome of a detailed study of a new notion of rectifiability: we say that a Radon measure on a Carnot group is $\mathscr{P}_h$-rectifiable, for $h\in\mathbb N$, if it has positive $h$-lower density and finite $h$-upper density almost everywhere, and, at almost every point, it admits as tangent measures only (multiple of) the Haar measure of a homogeneous subgroup of Hausdorff dimension $h$. We also prove several structure properties of $\mathscr{P}_h$-rectifiable measures. First, we compare $\mathscr{P}_h$-rectifiability with other notions of rectifiability previously known in the literature in the setting of Carnot groups and we realize that it is strictly weaker than them. Furthermore, we show that a $\mathscr{P}_h$-rectifiable measure has almost everywhere positive and finite $h$-density whenever the tangents admit at least one complementary subgroup.

연구 동기 및 목표

• 카르노 군에서 밀도 및 접선 측도 성질에 기반한 새로운 정규화 개념인 𝔛ₕ-정규화를 개발한다.
• 접선 평면이 정규 보조군을 갖는 경우, 마르슈탈-마티아 유형의 정규화 기준을 수립한다.
• 첫 번째 헤이젠베르크 군에서 양의 유한한 일차 밀도를 갖는 측도는 1-정규화된 집합에 의해 지지됨을 증명한다.
• 𝔛ₕ-정규화와 카르노 군에서 이전에 알려진 정규화 개념 간의 관계를 명확히 한다.
• 접선 동차 부분군이 보조군을 갖는 경우, 𝔛ₕ-정규화 측도는 거의 모든 곳에서 양의 유한한 h-밀도를 갖는다.

제안 방법

• 𝔛ₕ-정규화의 개념을 도입한다: 라돈 측도가 거의 모든 곳에서 양의 h-하한 밀도와 유한한 h-상한 밀도를 갖으며, 그 접선 측도가 h차원 동차 부분군의 하르 측도의 배수일 경우 이를 𝔛ₕ-정규화된다고 정의한다.
• 접선 평면이 정규 보조군을 갖는 카르노 군에서는, 접선 평면이 다양한 척도에서 회전할 수 있더라도 거의 모든 곳에서 접선 측도가 유일함을 증명한다.
• 정규 보조군의 존재를 이용해 접선 평면의 기하학을 제어하고 접선 측도의 유일성을 유도한다.
• 접선 측도 이론과 밀도 정규성 이론을 적용하여 헤이젠베르크 군 내 측도의 구조를 분석한다.
• 𝔛ₕ-정규화를 기존의 카르노 군 내 정규화 개념과 비교하여, 이는 엄밀히 더 약한 개념임을 보인다.
• 보조군 조건이 성립할 경우, 𝔛ₕ-정규화 측도는 거의 모든 곳에서 양의 유한한 h-밀도를 갖는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 유한한 일차 밀도를 갖는 측도에 대해, 헤이젠베르크 군에서 프라이스 유형의 정규화 정리가 수립될 수 있는가?
• RQ2 접선 평면에 어떤 기하학적 조건이 성립할 경우, 측도가 거의 모든 곳에서 유일한 접선 측도를 갖는가?
• RQ3 새로운 𝔛ₕ-정규화 개념은 카르노 군에서 이전에 정의된 정규화 개념과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 정규 보조군의 존재가 접선 측도의 유일성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 접선 동차 부분군이 보조군을 갖는 경우, 𝔛ₕ-정규화는 거의 모든 곳에서 양의 유한한 h-밀도를 유도하는가?

주요 결과

• 코라니의 거리에 대해 양의 유한한 일차 밀도를 갖는 헤이젠베르크 군 𝕍¹ 상의 라돈 측도는 1-정규화된 집합에 의해 지지되며, 즉 ℝ에서 𝕍¹로의 리프시츠 사상의 상의 가산 합집합에 의해 지지된다.
• 임의의 카르노 군에서 접선 평면이 정규 보조군을 갖는다면, 접선 평면이 다양한 척도에서 회전할 수 있더라도 측도는 거의 모든 곳에서 유일한 접선 측도를 갖는다.
• 새로운 𝔛ₕ-정규화 개념은 카르노 군에서 이전에 알려진 정규화 개념보다 엄밀히 더 약한 개념이다.
• 𝔛ₕ-정규화 측도의 경우, 접선 동차 부분군이 보조군을 갖는다면 거의 모든 곳에서 h-밀도는 양의 유한한 값을 갖는다.
• 공정한 보조군 조건 하에서 일반적인 카르노 군에서 마르슈탈-마티아 유형의 정규화 기준이 성립하며, 이는 𝕍¹에서의 일차원 결과를 증명하는 데 기여한다.
• 모든 카르노 군의 수평 부분군이 정규 보조군을 갖는다는 사실을 활용하여, 𝕍¹에서의 일차원 프라이스 정리가 일반 기준의 결과로서 도출된다.