[論文レビュー] On Reducible but Indecomposable Representations of the Virasoro Algebra

Falk Rohsiepe|ArXiv.org|Nov 20, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用数 66

ひとこと要約

本稿は、Virasoro代数の可約だが非分解的表現を調査し、最低重量空間上で$L_0$が非自明なジョルダンブロックとして作用するジョルダン最低重量モジュールに注目する。『スタガーダモジュール』を一般化として導入し、埋め込み条件に応じてそのモジュライ空間が1次元または空であることを分類し、ジョルダン・ヴェルマモジュールの最大保存部分モジュールを同定する。主な貢献は、中心電荷$c = -2$における最小ジョルダン表現の部分モジュールおよび特徴関数の完全分類であり、これは有理的対数的$ω(2,3^3)$代数への応用を伴う。

ABSTRACT

Motivated by the necessity to include so-called logarithmic operators in conformal field theories (Gurarie, 1993) at values of the central charge belonging to the logarithmic series c_{1,p}=1-6(p-1)^2/p, reducible but indecomposable representations of the Virasoro algebra are investigated, where L_0 possesses a nontrivial Jordan decomposition. After studying `Jordan lowest weight modules', where L_0 acts as a Jordan block on the lowest weight space (we focus on the rank two case), we turn to the more general case of extensions of a lowest weight module by another one, where again L_0 cannot be diagonalized. The moduli space of such `staggered' modules is determined. Using the structure of the moduli space, very restrictive conditions on submodules of `Jordan Verma modules' (the generalization of the usual Verma modules) are derived. Furthermore, for any given lowest weight of a Jordan Verma module its `maximal preserving submodule' (the maximal submodule, such that the quotient module still is a Jordan lowest weight module) is determined. Finally, the representations of the W-algebra W(2,3^3) at central charge c=-2 are investigated yielding a rational logarithmic model.

研究の動機と目的

• 可約だが非分解的Virasoro表現の構造を理解すること、特に$L_0$が対角化可能でない場合に注目する。
• 最低重量空間上で$L_0$がジョルダンブロックとして作用する「ジョルダン・ヴェルマモジュール」へのVermaモジュールの一般化を試みる。
• 最低重量モジュールの拡張として$L_0$が非対角化可能な「スタガーダモジュール」のモジュライ空間を分類する。
• ジョルダン・ヴェルマモジュールの最大保存部分モジュールを同定し、商が依然としてジョルダン最低重量モジュールのままであることを保証する。
• $c = -2$における$ω(2,3^3)$代数にこの枠組みを適用し、それが有理的対数的 conformal field theory を形成することを示す。

提案手法

• 「ジョルダン最低重量モジュール」を、$L_0$が2次元のジョルダンブロックとして作用する2つのベクトルによって生成されるモジュールとして定義する。
• 「スタガーダモジュール」を、$L_0$が非対角化可能な最低重量モジュールの拡張として導入し、Vermaモジュールの構造を一般化する。
• スタガーダモジュールのモジュライ空間$\mathcal{V}_{h,h'}$を構成し、$V(h',c) \to V(h,c)$の埋め込みが存在する場合に限り1次元ベクトル空間であることを証明する。そうでない場合は空である。
• モジュライ空間の構造を用いて、ジョルダン・ヴェルマモジュールの部分モジュールに強い制約を導出する。
• $c = -2$における$ω(2,3^3)$代数に形式的枠組みを適用し、すべての表現が有限個の基本的表現から部分モジュール、商、直和を用いて構成されることを示す。
• 最大保存部分モジュール構成を用いて、最小ジョルダン最低重量表現の特徴関数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L_0$が非自明なジョルダンブロックとして作用するジョルダン・ヴェルマモジュール内における部分モジュールの構造はどのように特定できるか？
• RQ2 スタガーダモジュールが存在する条件は何か？ そのモジュライ空間の次元は？
• RQ3 ジョルダン・ヴェルマモジュールの最大保存部分モジュールをどのように分類できるか？ その商が依然としてジョルダン最低重量モジュールのままであることを保証するには？
• RQ4 $c = -2$における$ω(2,3^3)$の表現理論が、一般化された意味で有理的であることを示せるか？
• RQ5 非対角化可能な$L_0$は、特に融合規則とモジュラー不変性の文脈において、対数的 conformal field theory においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• スタガーダモジュールのモジュライ空間$\mathcal{V}_{h,h'}$は、$V(h',c) \to V(h,c)$の埋め込みが存在する場合に限り1次元ベクトル空間であり、そうでない場合は空である。
• ジョルダン・ヴェルマモジュールの最大保存部分モジュールは、商が依然としてジョルダン最低重量モジュールのままであるような最大の部分モジュールとして特徴づけられる。
• 任意の与えられたジョルダン・ヴェルマモジュールの最低重量に対して、最大保存部分モジュールが明示的に決定され、最小ジョルダン表現の特徴関数の計算が可能になる。
• $c = -2$において、$ω(2,3^3)$代数は、有限個の基本的表現から部分モジュール、商、直和を用いてすべての他の表現が構成可能な有理的対数的 CFT を許容する。
• 最小ジョルダン最低重量表現の特徴関数は、最大保存部分モジュールを用いて導出され、このクラスのモジュールに対する完全な特徴関数公式が得られる。
• 高ランクにおける最大保存部分モジュールの構造はより複雑になる：例えば$c = -2$、$h = \frac{3}{8}$において、ランク3のジョルダン・ヴェルマモジュールの最大保存部分モジュールは、3つの異なる最低重量を持つスタガーダモジュールであり、標準的なジョルダン型またはスタガーダ型ではない。