[論文レビュー] On Reedy Model Categories

Clark Barwick|ArXiv.org|Aug 21, 2007

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、関手的性質と対称モノイダル構造に焦点を当て、Reedyモデル圏に関する基礎的結果を確立する。Reedy圏の準同型による合成が左または右Quillen関手を誘導するための基準を提示し、対称モノイダルモデル圏が単位公理を満たすならば、Dayの畳み込み構成によりそのReedy図式圏が対称モノイダルモデル構造を引き継ぐことを証明する。

ABSTRACT

The sole purpose of this note is to introduce some elementary results on the structure and functoriality of Reedy model categories. In particular, I give a very useful little criterion to determine whether composition with a morphism of Reedy categories determines a left or right Quillen functor. I then give a number of useful inheritance results.

研究の動機と目的

• インデックス圏の準同型に関して、Reedyモデル圏の関手的性質を明確化すること。
• Reedy圏の準同型によって誘導される関手が左または右Quillen関手であるかどうかを特定するための基準を提供すること。
• 対称モノイダルモデル圏値の図式圏におけるReedyモデル構造が、対称モノイダル構造を引き継ぐ条件を確立すること。
• 単位公理の下で、Dayの畳み込みを用いてReedy図式圏に対称モノイダル構造を形式化すること。
• Reedyモデル圏に関する基礎的結果を、より長い書籍原稿に依存せずに利用可能にするためのもの。

提案手法

• Reedy圏の左および右ファイブレーションに基づく基準を用いて、図式関手のQuillen関手的性質を特定する。
• Dayの畳み込み構成を用いて、Reedy図式圏におけるテンソル積を定義する。
• 内部ホムを公式 $\underline{\operatorname{Mor}}_{\mathbf{M}(A)}^{\mathbf{M}(A)}(X,Y)_{\alpha} = \underline{\operatorname{Mor}}_{\mathbf{M}(A)}^{\mathbf{M}}(y_{\mathbf{M}}(\alpha) \otimes_{\mathbf{M}(A)}^{\mathbf{M}(A)} X, Y)$ により定義する。
• 単位公理と定数関手の被覆性を活用して、対称モノイダルモデル圏の公理を検証する。
• 対角関手 $\Delta: A \to A \times A$ が左ファイブレーションであることを示し、これにより関連する圏のナーヴが連結または空であることを保証し、対称モノイダル構造の根拠とする。
• 結果を単体的集合または圏 $K$ に対する $\Delta/K$ 上の図式圏に適用し、それらが対称モノイダル構造を引き継ぐことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Reedy圏の準同型が図式圏上で左または右Quillen関手を誘導するための条件は何か？
• RQ2 Reedyモデル構造 $\mathbf{M}^A$ が $\mathbf{M}$ から対称モノイダル構造を引き継ぐのはどのような場合か？
• RQ3 Dayの畳み込みテンソル積を用いて $\mathbf{M}^A$ にどのように対称モノイダルモデル構造を導入できるか？
• RQ4 単位公理は、$\mathbf{M}^A$ における対称モノイダルモデル圏構造を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 $A$ がReedy圏であるとき、対角関手 $\Delta: A \to A \times A$ は左ファイブレーションか？

主な発見

• Reedy圏の準同型が左または右ファイブレーションであるときかつそのときに限り、図式圏上で左または右Quillen関手が誘導され、Quillen関手的性質を特定する実用的な基準が得られる。
• 対称モノイダルモデル圏 $\mathbf{M}$ が単位公理を満たし、$A$ がReedy圏であるとき、Reedy図式圏 $\mathbf{M}(A)$ は $\mathbf{M}$ から対称モノイダルモデル構造を引き継ぐ。
• 図式圏 $\mathbf{M}(A)$ における対称モノイダル構造は、Dayの畳み込みにより与えられ、内部ホムは $\underline{\operatorname{Mor}}_{\mathbf{M}(A)}^{\mathbf{M}(A)}(X,Y)_{\alpha} = \underline{\operatorname{Mor}}_{\mathbf{M}(A)}^{\mathbf{M}}(y_{\mathbf{M}}(\alpha) \otimes_{\mathbf{M}(A)}^{\mathbf{M}(A)} X, Y)$ により定義される。
• 対角関手 $\Delta: A \to A \times A$ は左ファイブレーションであり、これにより関連する圏の圏のナーヴが連結または空であることが保証され、対称モノイダル公理の検証における重要なステップが達成される。
• 任意の $\mathbf{X}$-小の単体的集合または圏 $K$ に対して、$\mathbf{M}(\Delta/K)$ は対角的対称モノイダル構造に関して対称モノイダルモデル圏である。