[論文レビュー] On resolutions of diagrams of algebras

Martin Doubek|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2011

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Koszul型のoperad $\mathcal{A}$ に対して、その $\sigma$-型の代数の図式を記述する色付きoperad $\sigma_{\mathsf{C}}$ の最小分解を、$\mathcal{A}$ の最小分解と圏 $\mathsf{C}$ のcofibrant分解を接合する構成により構成することで、Marklの図式の代数に対する分解に関する予想の制限版を証明する。主な結果は、分解 $\mathcal{D}_{\infty}$ の生成子および微分の主要部の明示的記述であり、Gerstenhaber-Schackの図式コホモロジー複体への予想的な関係が示唆される。

ABSTRACT

We prove a restricted version of a conjecture by M. Markl on resolutions of an operad describing diagrams of algebras. We discuss a particular case related to the Gerstenhaber-Schack diagram cohomology.

研究の動機と目的

• Koszul型のoperad $\mathcal{A}$ に対して、その単一のアリティを持つ生成子を有する場合に、$\mathcal{A}$-代数の図式を記述する色付きoperad $\mathcal{A}_{\mathsf{C}}$ を解明すること。
• 図式の代数の最小分解の存在と構造に関するMarklの予想の制限版を証明すること。
• $\mathcal{A}$ の最小分解と $\mathsf{C}$ のcofibrant分解を組み合わせることで、明示的な分解 $\mathcal{D}_{\infty}$ を構成し、その生成子および微分の主要部を記述すること。
• 得られた分解をGerstenhaber-Schackの図式コホモロジー複体に関連付け、$\mathcal{A}_{\mathsf{C}}$-代数の変形複体として実現する可能性を示唆すること。

提案手法

• 最小分解 $\mathcal{A}_{\infty}$ と圏 $\mathsf{C}$ のcofibrant分解 $\mathsf{C}_{\infty}$ を、テンソル積に類似た接合構成により $\mathcal{D}_{\infty}$ を構成し、operad構造を保存すること。
• $\mathsf{C}_{\infty}$ 上の $[\![-]\!]_n$ 写像を、$\mathsf{C}_{\infty}$ 上のコプロダクトに由来する組合せ論的構造として定義し、分解の微分と整合性を持つようにすること。
• dg $k$-加群の合成積に対する Künneth 型の公式を用いてホモロジーを計算し、分解内でのホモロジー計算を容易にすること。
• $\mathcal{C}_{\infty} = \Omega\mathrm{B}\mathcal{C}$ のバーバー・コバーレゾリューションに、(色付き)dgバイアリズム構造を導入することで、$[\![-]\!]_n$ 写像を明示的にすること。
• $\mathcal{A} = \mathcal{A}ss$ の場合に、$\mathcal{D}_{\infty}$ 上の微分 $\partial$ の主要部が明示的に計算され、$[\![-]\!]_n$ 写像と整合的であることが確認されること。
• 予想として、$\mathcal{A} = \mathcal{A}ss$ の場合に、変形複体 $\mathop{\mathrm{Der}}^*(\mathcal{D}_{\infty}, \mathcal{E}nd_W)$ がGerstenhaber-Schack複体 $(C^*_{\mathrm{GS}}(D,D), \delta_{\mathrm{GS}})$ と同型であるとされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の単一アリティ生成子を有するKoszul型operad $\mathcal{A}$ および任意の圏 $\mathsf{C}$ に対して、色付きoperad $\mathcal{A}_{\mathsf{C}}$ の最小分解 $\mathcal{D}_{\infty}$ が存在するか？
• RQ2 $\mathcal{A}_{\infty}$ と $\mathsf{C}_{\infty}$ の接合構成により、$\mathcal{D}_{\infty}$ の生成子および微分の主要部を明示的に記述できるか？
• RQ3 $\mathsf{C}_{\infty}$ 上の $[\![-]\!]_n$ 写像構造はコプロダクトに由来するか？ また、これにより $\mathcal{C}_{\infty}$ 上に(色付き)dgバイアリズム構造が誘導されるか？
• RQ4 得られた分解 $\mathcal{D}_{\infty}$ が、Gerstenhaber-Schackの図式コホモロジー複体をその変形複体として与えるか？
• RQ5 Cohomology Comparison Theorem が示唆するように、$\mathcal{A}_{\mathsf{C}}$-代数の変形複体上の $L_{\infty}$ 構造を、Hochschild複体とGerstenhaber括弧を備えたものに修正できるか？

主な発見

• 本稿は、生成演算子が単一のアリティと次数を持つKoszul型operad $\mathcal{A}$ に対して、図式の代数に関するMarklの予想の制限版を証明し、$\mathcal{A}_{\mathsf{C}}$ の最小分解 $\mathcal{D}_{\infty}$ の存在を確立する。
• $\mathcal{D}_{\infty}$ は、$\mathcal{A}$ の最小分解 $\mathcal{A}_{\infty}$ と圏 $\mathsf{C}$ のcofibrant分解 $\mathsf{C}_{\infty}$ を接合することで構成され、生成子および微分の主要部が明示的に記述されている。
• $\mathsf{C}_{\infty}$ 上の $[\![-]\!]_n$ 写像が、$\mathsf{C}_{\infty}$ 上のコプロダクトに由来することを示し、(色付き)dgバイアリズム構造と関連づける。
• バーバー・コバーレゾリューション $\mathcal{C}_{\infty} = \Omega\mathrm{B}\mathcal{C}$ に対して、$C_*(I) \otimes \mathcal{C}$ 上のテンソル積コプロダクトを用いて $[\![-]\!]_n$ 写像を明示的に定義し、置換と符号を含む明確な公式が得られる。
• $\mathcal{A} = \mathcal{A}ss$ の場合に、変形複体 $\mathop{\mathrm{Der}}^*(\mathcal{D}_{\infty}, \mathcal{E}nd_W)$ がGerstenhaber-Schack複体 $(C^*_{\mathrm{GS}}(D,D), \delta_{\mathrm{GS}})$ と同型であると予想され、$\mathcal{D}_{\infty}$ が図式変形の正しいコホモロジー理論を実現していることが示唆される。
• 本稿は、図式変形複体上の $L_{\infty}$ 構造を理解するための枠組みを提供し、Cohomology Comparison Theorem を修正して、図式変形と単一代数の変形を関連付ける可能性を示唆する。