[論文レビュー] On rings and categories of general representations

Shahram Biglari|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、${\mathbbm{Q}}$-線型テンソル圏${\mathfrak{A}}$における対称群の表現のグロテンディーク環が、$K_0({\mathfrak{A}})$に係数をとる対称関数の環に同型であることを確立する。これは古典的表現論の一般化である。さらに、この環上のアダムス作用が、$¯{\chi}_{ψ_n(X)}(g) = ¯{\chi}_X(g^n)$を満たすことで、$\lambda$-環構造と表現論的トレースを結びつける。

ABSTRACT

In this note we show that similar to the classical case the ring of representations of symmetric groups in a tensor derived category is certain ring of symmetric functions. We also show that in the general setting considered here, the Adams operations compute the characteristic series associated to powers of endomorphisms.

研究の動機と目的

• 任意の${\mathbbm{Q}}$-線型テンソル圏${\mathfrak{A}}$に対して、対称群の表現環と対称関数の環の古典的同型を一般化すること。
• ${\mathfrak{A}}$がアーベル圏または特定の三角圏的条件を満たす場合に、$K_0({\mathfrak{A}})$にwell-definedな$\lambda$-環構造を確立すること。
• G-表現のグロテンディーク環上のアダムス作用が、特徴的系列を通じて、自己準同型のべきのトレースを計算できることを示すこと。

提案手法

• ${\mathbbm{Q}}$-線型テンソル圏${\mathfrak{A}}$における$G$-対象の圏$\mathrm{Rep}_{\mathfrak{A}}(G)$を、$G$-可換な準同型を備えて定義する。
• $\Sigma_n$の対称群に対して、$R_n({\mathfrak{A}})$の直和$R_{\mathfrak{A}} = \coprod_{n \geq 0} R_n({\mathfrak{A}})$としてグロテンディーク環を構成し、これが$R \otimes_{\mathbb{Z}} K_0({\mathfrak{A}})$に同型であることを示す。ここで$R$は対称群の${\mathbbm{Q}}$-表現の環である。
• ${\mathfrak{A}}$がアーベル圏であるか、特定の三角圏的条件を満たす場合、${\mathfrak{A}}$からの$\lambda$-環構造が$K_0({\mathfrak{A}})$に引き継がれることを証明する。
• オブジェクト$X$と$g$に対して、$g^n$による作用のトレースの母関数として特徴的系列$\overline{\chi}_X(g)$を定義し、$\overline{\chi}_{\psi_n(X)}(g) = \overline{\chi}_X(g^n)$を通じてアダムス作用と関連付ける。
• $X^{\otimes n}$上の射影子の公式$q = \frac{1}{n!} \sum_{\sigma} \chi_\pi(\sigma^{-1}) \sigma$を用いて、仮想表現$V$に対する$\mathrm{tr}(f; S_V(X))$を計算し、キャラクターの公式を導出する。
• 既知の対称関数の恒等式、たとえば$\sum_{k=1}^n (-1)^k p_k e_{n-k} = -n e_n$を用いて、アダムス作用の生成関数恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル圏${\mathfrak{A}}$における対称群の表現環は、$K_0({\mathfrak{A}})$に係数をとる対称関数の環とどのように関係するか？
• RQ2 ${\mathbbm{Q}}$-線型テンソル圏${\mathfrak{A}}$のグロテンディーク群$K_0({\mathfrak{A}})$がwell-definedな$\lambda$-環構造をもつための条件は何か？
• RQ3 G-表現のグロテンディーク環上のアダムス作用は、特徴的系列を通じて、自己準同型のべきのトレースを計算できると解釈できるか？
• RQ4 特徴的系列$\overline{\chi}_X(g)$と表現$X$上のアダムス作用$\psi_n$の間の正確な関係は何か？
• RQ5 公式$\overline{\chi}_{\psi_n(X)}(g) = \overline{\chi}_X(g^n)$は、表現論における古典的トレース恒等式をどのように一般化するか？

主な発見

• ${\mathfrak{A}}$における$\Sigma_n$-表現のグロテンディーク環$R_{\mathfrak{A}}$は、$R \otimes_{\mathbb{Z}} K_0({\mathfrak{A}})$に同型であり、ここで$R$は対称群の${\mathbbm{Q}}$-表現の環である。
• $K_0({\mathfrak{A}})$における$\lambda$-環構造は、${\mathfrak{A}}$がアーベル圏であるか、適切な三角圏的条件を満たす場合にwell-definedである。
• $R_{\mathfrak{A}}$上のアダムス作用$\psi_n$は、$\overline{\chi}_{\psi_n(X)}(g) = \overline{\chi}_X(g^n)$を満たし、$\lambda$-環作用と自己準同型のべきのトレースを結びつける。
• 任意のオブジェクト$X$と分割$\pi$に対して、スーパー跡$\mathrm{tr}(\mathrm{id}; S_\pi(X))$は$\mathrm{tr}(\mathrm{id}; X)$の多項式として表され、具体的には$P(\mathrm{tr}(\mathrm{id}; X)) = d_\pi(\mathrm{tr}(\mathrm{id}; X))$となる。ここで$d_\pi$はシュール関手$S_\pi$の次元である。
• 特徴的系列$\overline{\chi}_X(g)$は、生成関数恒等式$-t \frac{d}{dt} \log \overline{\chi}_X(g) = \sum_{n \geq 1} \mathrm{tr}(g^n; X) (-t)^n$を満たし、これはアダムス作用の恒等式と同値である。
• 任意の仮想表現$V$に対して、公式$\mathrm{tr}(f; S_V(X)) = \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in \Sigma_n} \chi_V(\sigma^{-1}) \mathrm{tr}(\sigma f^{igotimes n}; X^{\otimes n})$が成り立ち、これは一般化されたキャラクターの公式を提供する。