[論文レビュー] On sofic groups, Kaplansky's conjectures, and endomorphisms of pro-algebraic groups

Xuan Kien Phung|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2018

Cellular Automata and Applications参考文献 38被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、ソフィック群およびアメニタブル群上の代数的群セルオートマトンの可逆性と逆可逆性の基準を確立し、体の特性が0で群がソフィックであるとき、単射なこのようなオートマトンが可逆であることを証明する。Kaplanskyの予想を新しい近環構造に拡張し、順序付け可能な群では片側可逆元が自明であることを示し、これにより $\mathbb{Z}^d$ や自由群のような群上の単射セルオートマトンの強い構造的特徴づけが得られる。

ABSTRACT

Let $G$ be a group. Let $X$ be a connected algebraic group over an algebraically closed field $K$. Denote by $A=X(K)$ the set of $K$-points of $X$. We study a class of endomorphisms of pro-algebraic groups, namely algebraic group cellular automata over $(G,X,K)$. They are cellular automata $\ au \\colon A^G \ o A^G$ whose local defining map is induced by a homomorphism of algebraic groups $X^M \ o X$ where $M\\subset G$ is a finite memory set of $\ au$. Our first result is that when $G$ is sofic, such an algebraic group cellular automaton $\ au$ is invertible whenever it is injective and $\ ext{char}(K)=0$. As an application, we prove that if $G$ is sofic and the group $X$ is commutative then the group ring $R[G]$, where $R=\ ext{End}(X)$ is the endomorphism ring of $X$, is stably finite. When $G$ is amenable, we show that an algebraic group cellular automaton $\ au$ is surjective if and only if it satisfies a weak form of pre-injectivity called $(\\bullet)$-pre-injectivity. This yields an analogue of the classical Moore-Myhill Garden of Eden theorem. We also introduce the near ring $R(K,G)$ which is $K[X_g: g \\in G]$ as an additive group but the multiplication is induced by the group law of $G$. The near ring $R(K,G)$ contains naturally the group ring $K[G]$ and we extend Kaplansky's conjectures to this new setting. Among other results, we prove that when $G$ is an orderable group, then all one-sided invertible elements of $R(K,G)$ are trivial, i.e., of the form $aX_g+b$ for some $g\\in G$, $a\\in K^*$, $b\\in K$. This allows us to show that when $G$ is locally residually finite and orderable (e.g. $\\mathbb{Z}^d$ or a free group), and $\ ext{char}(K)=0$, all injective algebraic cellular automata $\ au \\colon \\mathbb{C}^G \ o \\mathbb{C}^G$ are of the form $\ au(x)(h)= a x(g^{-1}h) +b$ for all $x\\in \\mathbb{C}^G, h \\in G$ for some $g\\in G$, $a\\in \\mathbb{C}^*$, $b\\in \\mathbb{C}$.

研究の動機と目的

• ソフィック群およびアメニタブル群上の代数的群セルオートマトンの可逆性基準を確立すること。
• 群の代数的多様体への作用から構成される新しい近環 $R(K,G)$ を用いて、Kaplanskyの直接的有限性およびゼロ除算子予想を拡張すること。
• 局所的に残余有限かつ順序付け可能な群上の単射代数的セルオートマトンの構造を特徴づけること。
• アメニタブル群上での代数的群セルオートマトンに対して、ガーデン・オブ・エデン定理のバージョンを証明すること。
• 一般化の限界を明らかにするために、反例を提示することで、代数的群セルオートマトンを超える結果の一般化の限界を明確にすること。

提案手法

• 群の作用から得られる近環 $R(K,G)$ を、$K[X_g : g \in G]$ として定義し、加法を群環として、乗法を $G$ の群法則から誘導する。
• 代数的群セルオートマトンを、有限部分集合 $M \subset G$ に対して $X^M \to X$ の代数的群準同型から生じる局所規則を持つ $G$-可換写像 $\tau: A^G \to A^G$ として定義する。
• プロ位相と逆極限技術を用いて、このようなオートマトンの像および逆像の構造を分析する。
• 特にAx-Grothendieck定理とGromovの全射性に関する結果を含む、記号的力学と代数的幾何学の結果を適用する。
• 可換群の設定において、$(\bullet)$-前単射性という前単射性の弱い形を導入し、アメニタブル群の設定での全射性を特徴づける。
• アフィン多様体上の非全射的かつ支配的な準同型と非代数的逆写像を用いて反例を構成し、仮定の必要性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ソフィック群上の単射代数的群セルオートマトンが可逆となる条件は何か？
• RQ2 代数的群セルオートマトンが全射となる条件は何か？また、アメニタブルな場合の前単射性とはどのように関係するか？
• RQ3 近環 $R(K,G)$ における片側可逆元の構造は何か？また、これはセルオートマトンの力学にどのように関係するか？
• RQ4 古典的なMoore-Myhillのガーデン・オブ・エデン定理は、代数的群セルオートマトンの設定に拡張可能か？
• RQ5 結果を非代数的セルオートマトンに一般化する際の限界は何か？反例はどのようにこれを示唆するか？

主な発見

• 群 $G$ がソフィックで $\operatorname{char}(K) = 0$ であるとき、任意の単射代数的群セルオートマトン $\tau: A^G \to A^G$ は可逆である。
• アメニタブルな $G$ に対して、代数的群セルオートマトンが全射であるための必要十分条件は、$(\bullet)$-前単射性を満たすことである。これにより、ガーデン・オブ・エデン定理のバージョンが得られる。
• 近環 $R(K,G)$ において、$G$ が順序付け可能であるとき、すべての片側可逆元は自明（$aX_g + b$ の形）である。これは、セルオートマトンに強い構造的制約を与える。
• 局所的に残余有限かつ順序付け可能な群（例：$\mathbb{Z}^d$ や自由群）に対して、任意の単射セルオートマトン $\tau: \mathbb{C}^G \to \mathbb{C}^G$ は、ある $g \in G$、$a \in \mathbb{C}^*$、$b \in \mathbb{C}$ を用いて $\tau(x)(h) = a x(g^{-1}h) + b$ の形に表せる。
• 反例により、$K$ が代数的に閉じていない、または局所写像が群準同型でない場合、結果は成り立たないことが示され、その場合でも単射だが全射でないオートマトンが存在する。
• 代数的セルオートマトンの逆写像は代数的でないことがある。例えば、$\mathbb{G}_m$ 上のフロベニウス写像は双対的だが、その逆写像は代数的でない。