[論文レビュー] On some counting problems for semi-linear sets

Flavio D’Alessandro, Benedetto Intrigila+1 more|ArXiv.org|Jul 17, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、N^t または Z^t 上の任意の半線形集合の成長関数が、有理超平面によって定義される多面体錐領域上での区分的準多項式関数であるボックススプラインであることを確立する。組合せ的技法と半線形集合に関する構造的結果を活用することで、DahmenとMicchelliの定理（ディオファントス線形方程式系の数え上げ関数がボックススプラインである）の新たな構成的証明が与えられ、元の代数的構造から関数の有効な計算可能性が示される。

ABSTRACT

Let $X$ be a subset of $\N^t$ or $\Z^t$. We can associate with $X$ a function ${\cal G}_X:\N^t\longrightarrow\N$ which returns, for every $(n_1, ..., n_t)\in \N^t$, the number ${\cal G}_X(n_1, ..., n_t)$ of all vectors $x\in X$ such that, for every $i=1,..., t, |x_{i}| \leq n_{i}$. This function is called the {\em growth function} of $X$. The main result of this paper is that the growth function of a semi-linear set of $\N^t$ or $\Z^t$ is a box spline. By using this result and some theorems on semi-linear sets, we give a new proof of combinatorial flavour of a well-known theorem by Dahmen and Micchelli on the counting function of a system of Diophantine linear equations.

研究の動機と目的

• N^t や Z^t 上の半線形集合の成長関数を定義・分析し、原点を中心とする拡大するハイパーパラレレピプッド内に含まれる要素数を数えること。
• この成長関数が常にボックススプライン、すなわち有理超平面によって定義される多面体錐領域上での区分的準多項式関数であることを確立すること。
• DahmenとMicchelliの定理（ディオファントス線形方程式系の数え上げ関数がボックススプラインである）の新たな組合せ的証明を提供し、それがボックススプラインであることを示すこと。
• 半線形集合の構造から得られる代数的構造を用いて、成長関数の有効な計算可能性を明示的な構成によって示すこと。
• 形式的言語理論、整数計画法、組合せ論の結果を統合・拡張し、半線形集合とボックススプライン表現との間の関係を確立すること。

提案手法

• 半線形集合 X ⊆ N^t または Z^t に対して、f_X(n_1, ..., n_t) をすべての i について |x_i| ≤ n_i を満たす要素の個数として成長関数を定義する。
• 半線形集合が線形集合の有限和として表せること（整数係数線形ディオファントス方程式の解集合によってパrameter化される）を用いて、数え上げ問題を分解する。
• 文献[4]の技法を応用し、単一の線形ディオファントス方程式系の数え上げ関数が、高次元空間における半線形集合上の一般化された成長関数として表現できることを示し、それがボックススプラインであることを証明する。
• 線形形式の符号および大きさに関する制約によって定まるパrameter空間の各領域において、成長関数が準多項式であることを証明し、したがって全体としてボックススプラインであることを示す。
• 原点を通る有理超平面によって定義される符号領域の構造を用いて、定義域を分割し、各領域に一意な準多項式を割り当てる。
• 半線形集合の理論と有理錐分割の理論を活用し、得られる関数が全体としてボックススプラインであることを示し、元の集合の生成子から構成可能な有効な表現が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N^t や Z^t 上の半線形集合の成長関数は、常にボックススプラインとして表現可能か？
• RQ2 組合せ的および半線形集合の技法を用いて、ディオファントス線形方程式系の数え上げ関数をボックススプラインとして特徴づけられるか？
• RQ3 半線形集合のパラメータ表現から、その成長関数をどのように有効に計算できるか？
• RQ4 線形形式の符号および大きさ構造と、数え上げ関数の区分的多項式的挙動との関係は何か？
• RQ5 DahmenとMicchelliの定理（ディオファントス方程式系に関するもの）を、半線形集合とボックススプラインの枠組みを用いて再証明できるか？

主な発見

• N^t や Z^t 上の任意の半線形集合の成長関数はボックススプラインである。すなわち、有理超平面によって定義される多面体錐領域への有限な分割上での区分的準多項式関数である。
• ディオファントス線形方程式系の数え上げ関数は、高次元空間における半線形集合上の一般化された成長関数を構成することで、ボックススプラインであることが示された。
• 絶対値線形方程式系の解の個数を数える関数 CA(b) は、Z^t 上のボックススプラインであり、係数行列の符号および大きさ領域の構造によって決定される。
• 符号および大きさ制約によって定まるパrameter空間の任意の領域 R に対して、成長関数は、入力変数の固定周期 d における剰余に依存する準多項式である。
• Z^{t+n} における半線形集合に関連する一般化された成長関数 G は、射影操作によって Z^t 上のボックススプラインに変換可能であり、これは元のディオファントス方程式系の解の個数と一致する。
• 証明により、有効な計算可能性が確立された：与えられた半線形集合から、その成長関数に対応するボックススプライン表現をアルゴリズム的に構成可能である。