[논문 리뷰] On some partitions of an affine flag variety

Xuhua He|ArXiv.org|2009. 10. 27.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비틀린 쌍대 작용을 통해 아핀 플래그 다양체의 계층화를 도입하여, 유한형 딜레그-루스티그 및 스프링거 섬유 구조를 일반화한다. 아핀 덜레그-루스티그 다양체의 비어있음과 차원은 확장된 아핀 히케 대수의 범주 다항식의 비영과 차수와 정확히 대응되며, 이는 모든 코homology로 구성된 표현이 고전적 군에서 유한차원 부분다양체로부터 유도된다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we discuss some partitions of affine flag varieties. These partitions include as special cases the partition of affine flag variety into affine Deligne-Lusztig varieties and the affine analogue of the partition of flag varieties into $\cb_w(b)$ introduced by Lusztig in \cite{L1} as part of the definition of character sheaves. Among other things, we give a formula for the dimension of affine Deligne-Lusztig varieties for classical loop groups in terms of degrees of class polynomials of extended affine Hecke algebra. We also prove that any simple $GL_n(\FF_q((\e)))$-module occurs as a subquotient of the cohomology of affine Deligne-Lusztig variety $X_w(1)$ for some $w$ in the extended affine Weyl group $\ZZ^n times S_n$ must occurs for some $w$ in the finite Weyl group $S_n$. Similar result holds for $Sp_{2n}$.

연구 동기 및 목표

• 비틀린 쌍대 작용을 통해 유한형 딜레그-루스티그 및 스프링거 섬유 계층화를 아핀 플래그 다양체 설정으로 일반화한다.
• 확장된 아핀 히케 대수의 범주 다항식을 사용하여 아핀 덜레그-루스티그 다양체의 비어있음과 차원을 규명한다.
• GL_n 및 Sp_{2n}에 대해 아핀 덜레그-루스티그 다양체의 코homology에서 유도된 모든 단순 표현이 유한 웨일 군 원소로부터 유도됨을 보인다.

제안 방법

• 자기동형사상 σ_a 또는 프로베니우스 σ_F를 사용하여 루프 군 G(L) 위에 비틀린 쌍대 작용을 도입한다.
• G(L)/I 내부의 부분집합으로서 아핀 덜레그-루스티그 다양체 X_{w,σ}(b)를 정의하며, g^{-1}bσ(g) ∈ I·w·I 를 만족한다.
• 고전적 확장된 아핀 히케 대수의 범주 다항식을 구성하여 지크-루이에이지의 유한 경우를 일반화한다.
• dim(X_{w,σ}(b))가 다항식의 차수와 원소의 길이를 포함하는 공식과 일치함을 증명한다.
• 구조 분석을 위해 G(L) = ⊔_{[w]} G(L)·_σ I·w·I 의 계층화를 사용한다.
• 초구별 및 엄격히 양수인 이중 분할에 대한 결과를 적용하여 단일 쌍대류 클래스를 갖는 경우를 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아핀 덜레그-루스티그 다양체의 비어있음과 차원은 확장된 아핀 웨일 군의 대수적 불변량과 어떻게 관련되는가?
• RQ2 아핀 덜레그-루스티그 다양체의 코homology는 중심자군 Z_{G(L),σ}(b)의 모든 단순 표현을 실현할 수 있는가?
• RQ3 어떤 원소 b ∈ G(L) 및 w ∈ ˜W 에 대해 X_{w,σ}(b) 는 유한차원이거나 비어있게 되는가?
• RQ4 중심자군 Z_{G(L),σ}(b) 가 X_{w,σ}(b) 의 코homology 위에서 자명하게 작용하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 언제 X_{w,σ}(b) 의 코homology 가 Z_{G(L),σ}(b) 의 모든 단순 표현을 실현하는가?

주요 결과

• 고전적 군에 대해, X_{w,σ}(b) 의 비어있음은 확장된 아핀 히케 대수에서 특정 범주 다항식의 비영과 정확히 일치한다.
• X_{w,σ}(b) 의 차원은 다항식의 차수와 w 의 길이를 포함하는 공식으로 주어진다.
• GL_n 및 Sp_{2n} 에서, X_w(1) 의 코homology 로부터 유도된 임의의 단순 GL_n(F_q((ε)))-모듈은 반드시 유한 웨일 군 원소 w ∈ S_n 에서 기인한다.
• PGL_n 와 PSp_{2n} 의 항등원 성분에 대해, b 가 정규 준단순 또는 슈퍼베이직 원소일 경우, Z_{G(L),σ}(b) 의 모든 코homology로 구성된 표현은 유한차원 부분다양체에서 기인한다.
• f^{-1}(a) 가 단일 쌍대류 클래스일 경우, 이는 초구별 또는 엄격히 양수인 이중 분할에 대응하며, 중심자군 작용은 유한 몫으로 인해 인해 분해된다.
• PGL_n 에서 슈퍼베이직 원소 τ 에 대해, Z_{G(L),σ}(τ) 의 모든 코homology로 구성된 표현은 자명하며, 다양체 X_{w,σ}(τ) 가 T(L)I/I 내부에 포함되기 때문이다.