[論文レビュー] On strictly semi-positive tensors

Yisheng Song, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、すべての主部分テンソルのH⁺(Z⁺)-固有値が正であることを示すことで、厳密に準正のテンソルの基本的性質を確立する。厳密に準正性を特徴づけるために必要なかつ十分な条件である重要な量をバインドする2つの新しい定数を導入し、それらを用いて非線形補完性問題に対するグローバル誤差境界を導出する。

ABSTRACT

In this paper, we prove that all H + (Z + )-eigenvalues of each principal sub-tensor of a strictly semi-positive tensor are positive. We define two new constants associated with H + (Z + )eigenvalues of a strictly semi-positive tensor. With the help of these two constants, we establish upper bounds of an important quantity whose positivity is a necessary and sufficient condition for a general tensor to be astrictly semi-positive tensor. The monotonicity and boundedness of such a quantity are established too. Furthermore, we present global error bound analysis for a class of the nonlinear complementarity problem defined by a strictly semi-positive tensor.

研究の動機と目的

• 厳密に準正のテンソルのスペクトル的性質を、そのH⁺(Z⁺)-固有値を通じて特徴づけること。
• 厳密に準正性を決定づける重要な量をバインドする2つの新しい定数を定義すること。
• この重要な量の単調性および有界性を確立すること。
• 厳密に準正のテンソルによって定義される非線形補完性問題に対するグローバル誤差境界を提供すること。

提案手法

• 厳密に準正のテンソルの主部分テンソルのすべてのH⁺(Z⁺)-固有値が正であることを証明すること。
• H⁺(Z⁺)-固有値に基づいて2つの新しい定数を定義し、厳密に準正性に関連する重要な量をバインドすること。
• これらの定数を用いて、重要な量の上界を導出し、その正の性質が厳密に準正性の必要十分条件であることを保証すること。
• 解析的不等式を用いて、重要な量の単調性および有界性を確立すること。
• 導出されたバインドを応用して、非線形補完性問題のグローバル誤差境界を分析すること。
• テンソルスペクトル理論および非負テンソルの性質を活用して、理論的枠組みを支援すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厳密に準正のテンソルの主部分テンソルにおけるH⁺(Z⁺)-固有値のスペクトル的性質は何か？
• RQ2 厳密に準正性を特徴づける重要な量をバインドするための新しい定数をどのように定義できるか？
• RQ3 重要な量の単調性および有界性と、厳密に準正のテンソルの構造との関係は何か？
• RQ4 導出されたバインドは、非線形補完性問題における誤差推定にどのように寄与するか？
• RQ5 厳密に準正のテンソルのスペクトル的および構造的性質を用いて、非線形補完性問題に対するグローバル誤差境界を確立できるか？

主な発見

• 厳密に準正のテンソルの任意の主部分テンソルのH⁺(Z⁺)-固有値はすべて正である。
• H⁺(Z⁺)-固有値に基づいて定義された2つの新しい定数が、厳密に準正性を決定づける重要な量の上界を提供する。
• 重要な量は単調かつ有界であるため、厳密に準正性の特徴づけに有効に利用できる。
• 重要な量の正の性質は、テンソルが厳密に準正であるための必要十分条件である。
• 導出された定数およびバインドを用いて、非線形補完性問題のグローバル誤差境界が確立された。
• 理論的枠組みにより、テンソルに基づく補完性問題における解の誤差の定量的分析が可能になった。