[論文レビュー] On the axioms for adhesive and quasiadhesive categories

Richard Garner, Stephen Lack|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、モノモルフィズムに沿ったプッシュアウトとプルバックの間の正確性条件を分析することで、アドヒビットおよびクasiアドヒビット圏の4つの特徴づけ定理を確立する。本稿では、正規モノモルフィズムに沿ったプッシュアウトと、トポスおよびクアシトポスにおけるそれらに類似した正確性条件によって定義されるrm-adhesiveおよびrm-quasiadhesive圏の概念を導入する。主たる貢献は、任意の小さなrm-quasiadhesive圏がGrothendieckクアシトポスに、完全かつ構造を保全する埋め込みをもって埋め込めることを示す完全埋め込み定理であり、逆も成り立ち、このような圏はまさにこの埋め込み性質によって特徴づけられる。

ABSTRACT

A category is adhesive if it has all pullbacks, all pushouts along monomorphisms, and all exactness conditions between pullbacks and pushouts along monomorphisms which hold in a topos. This condition can be modified by considering only pushouts along regular monomorphisms, or by asking only for the exactness conditions which hold in a quasitopos. We prove four characterization theorems dealing with adhesive categories and their variants.

研究の動機と目的

• モノモルフィズムに 沿ったプルバックとプッシュアウトの間の正確性条件を特定することで、アドヒビットおよびクアシアドヒビット圏の公理的基盤を明確化すること。
• 一部の関心の高い圏がアドヒビットでないにもかかわらず、トポスに類似した振る舞いを示すという制限を解消すること。
• 一般モノモルフィズムの代わりに正規モノモルフィズムを用いることで、rm-adhesiveおよびrm-quasiadhesive圏の概念を導入し、特徴づけること。
• 小さなrm-quasiadhesive圏がGrothendieckクアシトポスに完全かつ構造を保全する埋め込みをもつことを確立することにより、圏的特徴づけを提供すること。

提案手法

• モノモルフィズムに 沿ったプッシュアウトにおけるvan Kampen条件を用いてアドヒビット圏を定義し、プルバック下での安定性および正確性を保証する。
• 正規モノモルフィズムに 沿ったプッシュアウトに制限し、トポスにおけるそれと同一の正確性条件を保持することで、rm-adhesive圏を定義する。
• 正確性条件をクアシトポスで有効なものに緩和し、正規モノモルフィズムに 沿ったプッシュアウトとプルバックを保持することで、rm-quasiadhesive圏を定義する。
• 小さなrm-quasiadhesive圏に、既存のトポスを拡張して、正規モノモルフィズムに 沿ったプッシュアウトから生じる2つの射の対によって生成される被覆族を含むGrothendieckトポスを構成する。
• この新しいトポスにおいて、表現可能関手が分離的であり、シェーブ条件を満たすことを証明し、これによりプッシュアウトがプルバックに送られることが保証される。
• シェービングプロセスおよびトポスの性質を用いて、任意の小さなrm-quasiadhesive圏をGrothendieckクアシトポスに完全かつ構造を保全する埋め込みとして構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノモルフィズムに 沿ったプルバックとプッシュアウトの間の正確性条件として、アドヒビット圏を特徴づけるために必要なおよび十分な条件は何か？
• RQ2 一般モノモルフィズムではなく正規モノモルフィズムに制限した場合、アドヒビット圏の性質はどのように変化するか？
• RQ3 トポスではなくクアシトポスで有効な正確性条件を満たす正規モノモルフィズムに 沿ったプッシュアウトに対して、対応する圏的構造は何か？
• RQ4 任意の小さなrm-quasiadhesive圏は、正規モノモルフィズムに 沿った極限およびプッシュアウトを保全する形で、Grothendieckクアシトポスに完全に埋め込めるか？
• RQ5 クアシトポスへの埋め込み性という観点から、圏がrm-quasiadhesiveであることを特徴づける要件は何か？

主な発見

• すべての小さなrm-quasiadhesive圏は、すべての既存する極限および正規モノモルフィズムに 沿ったプッシュアウトを保全する完全かつ構造を保全する埋め込みを、Grothendieckクアシトポスに持つ。
• 埋め込みは、既存のトポスに加え、正規モノモルフィズムに 沿ったプッシュアウトから生じる対のすべてのプルバックを含む被覆族を持つGrothendieckトポスによって構成される。
• この新しいトポスにおいて、圏内の表現可能関手はk-分離的となり、シェーブ条件により正規モノモルフィズムに 沿ったプッシュアウトがプルバックに送られることが保証される。
• 正規モノモルフィズムに 沿ったプッシュアウトによって誘導される2つの射 $ m_2 $ と $ \rho $ は、安定的に同時にエピモルフィズムであることが、埋め込みを可能にする重要な技術的結果である。
• 逆も成り立つ：クアシトポスの完全な部分圏で、プルバックおよび正規モノモルフィズムに 沿ったプッシュアウトをすべて保持するものは、rm-quasiadhesiveである。
• ゆえに、すべてのプルバックおよび正規モノモルフィズムに 沿ったプッシュアウトを持つ小さな圏は、Grothendieckクアシトポスに完全かつ構造を保全する埋め込みをもつ、かつそのような埋め込みをもつ、if and only if rm-quasiadhesiveである。