[論文レビュー] On the chiral ring of Calabi-Yau hypersurfaces in toric varieties

Anvar R. Mavlyutov|ArXiv.org|Oct 31, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、特に3次元の場合に、特異的でないトーリック多様体内のカーマイ-Yau超曲面のチャイナル環について、完全な代数的記述を提供する。ジャコビアン環と留数写像を用いて、チャイナル環の多項式的および非多項式的部品を導入し、トーリック幾何とギジン写像を用いて明示的なカップ積構造を導出し、最終的に双対標準的超曲面の量子コホモロジー環を完全に計算する。

ABSTRACT

We study the B-model chiral ring of Calabi-Yau hypersurfaces in Batyrev's mirror construction. The main result is an explicit description of a subring of the chiral ring of semiample regular (transversal to torus orbits) Calabi-Yau hypersurfaces. This subring includes the marginal operators and contains all information about the correlation functions used by physicists. Computation of the chiral ring passes through a description of cohomology of semiample hypersurfaces. Here, we develop the techniques for calculating of the cohomology of resolutions.

研究の動機と目的

• 完全な単体的トーリック多様体内の準滑らか超曲面について、$\oplus_p H^p(X, \wedge^p \mathcal{T}_X)$ のチャイナル環を完全に記述すること。
• チャイナル環を多項式的部品と非多項式的部品に分解し、後者はジャコビアン環の商環から生じることを明らかにすること。
• 特にカーマイ-Yauの場合に、半正則双対標準的正則超曲面の中央コホモロジーおよびチャイナル環の明確な代数的記述を確立すること。
• ファンの組合せ論的データを用いて、トーリック幾何、ギジン写像、および組合せ論的データからチャイナル環の積構造を計算すること。

提案手法

• 軌道的多様体に対して、接層のザリスキ $p$-重外積 $\wedge^p \mathcal{T}_X$ を導入し、ジャコビアン環 $R(f)_{*\beta}$ から $H^*(X, \wedge^* \mathcal{T}_X)$ への環準同型を構成する。
• チャイナル環の多項式的部品を $R_1(f)_{*\beta}$ の像として定義し、カーマイ-Yauの場合には単射であることを示す。
• 商環 $R^\sigma(f)$ から $H^*(X, \wedge^* \mathcal{T}_X)$ へのモジュール写像を構成し、多項式的部品と整合する非多項式的部品を構成する。
• ギジン同型および射影公式を用いて、特に $H^{d-1}(X, \wedge^{d-1} \mathcal{T}_X)$ におけるコホモロジーのカップ積を計算する。
• 半正則正則超曲面のコホモロジーをトーリック部と留数部に分解し、直和分解が成り立つことを示す。
• 新規の環 $R_1^\sigma(f)$ を用いて、大きさとネフ性を持つ正則超曲面の中央コホモロジーを記述し、積構造の完全な計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリック多様体内のカーマイ-Yau超曲面について、チャイナル環 $\oplus_p H^p(X, \wedge^p \mathcal{T}_X)$ をどのように完全に記述できるか。
• RQ2 チャイナル環の非多項式的部品の代数的構造は何か。また、多項式的部品とどのように関係しているか。
• RQ3 カップ積は、どのようにトーリックおよび留数コホモロジー成分から生じるか。
• RQ4 ファンの組合せ論的データを用いて、双対標準的超曲面のチャイナル環における明示的な積構造は何か。
• RQ5 高次のカップ積は、特に最小カーマイ-Yauの場合に、どのような条件下で消えたり単純化したりするか。

主な発見

• 3次元カーマイ-Yau超曲面のチャイナル環は、多項式的部品 $R_1(f)_{*\beta}$ と $R^\sigma(f)$ からの非多項式的部品によって完全に記述され、積構造も完全に計算されている。
• 半正則双対標準的正則超曲面に対して、チャイナル環は中央コホモロジーに同型であり、$\gamma_A$、$\gamma^i_A$、$\gamma^{i}_{AB}$ を含むカップ積を用いて明示的に積構造が計算されている。
• $H^{d-1}(X, \wedge^{d-1} \mathcal{T}_X)$ 内でカップ積 $\gamma^i_A \cup \gamma^i_B$ は $\frac{\mathrm{mult}(\sigma_k + \sigma_{k+1}) \gamma_{\mu^{-1}(ABG^\sigma(f))}}{\mathrm{mult}(\sigma_k)\mathrm{mult}(\sigma_{k+1})}$ で与えられ、錐の重複度に明示的な依存を持つ。
• $\rho_i = \rho_{l_k}$ が $\Sigma_X$ に属さない場合、三重積 $\gamma^i_A \cup \gamma^i_B \cup \gamma^i_C$ は $\gamma_{\mu^{-1}(ABCH^\sigma(f)G^\sigma(f))}$ に比例し、重複度に依存する係数を持つ。
• すべての2次元錐の重複度が1であるとき、三重積 $\gamma^i_A \cup \gamma^i_B \cup \gamma^i_C$ は消える。これはバチレブの構成における最小カーマイ-Yau超曲面に成立する。
• 積構造は同型 $\cup[\omega_1]: H^{d-1}(X, \mathcal{O}_X) \to H^{d-1}(X, \Omega^{d-1}_X)$ と整合しており、ヤクワカップリングの明示的計算を可能にする。