[論文レビュー] On The Cohomological Dimension of Local Cohomology Modules

V. Erdoǧdu, Tuğba Yıldırım|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2015

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ネーター環上の局所コホモロジーモジュールに対して、厳密に減少するコホモロジーディメンションを持つイデアルの下降鎖の存在を確立し、各段階におけるトップ局所コホモロジーモジュールが非アートジンであることを証明する。コホモロジーディメンションの下界に関する十分条件を提示し、非カタネラリーなネーター局所整域において、ある素イデアルが集合論的完遂交差でないことを結論づける。さらに、次元および補題条件を用いてトップ局所コホモロジーモジュールがアートジンである条件を特徴づける。

ABSTRACT

Let $R$ be a Noetherian ring, $I$ an ideal of $R$ and $M$ an $R$-module with $\operatorname{cd}(I,M)=c$. In this article, we first show that there exists a descending chain of ideals $I=I_c\supsetneq I_{c-1}\supsetneq \cdots \supsetneq I_0$ of $R$ such that for each $0\leq i\leq c-1$, $\operatorname{cd}(I_i,M)=i$ and that the top local cohomology module $\operatorname{H}^i_{I_i}(M)$ is not Artinian. We then give sufficient conditions for a non-negative integer $t$ to be a lower bound for $\operatorname{cd}(I,M)$ and use this to conclude that in non-catenary Noetherian local integral domains, there exist prime ideals that are not set theoretic complete intersection. Finally, we set conditions which determine whether or not a top local cohomology module is Artinian.

研究の動機と目的

• 与えられた局所コホモロジーモジュールに対して、厳密に減少するコホモロジーディメンションを持つイデアルの下降鎖を構成すること。
• モジュールのイデアルに関するコホモロジーディメンションの下界としての非負整数が成立する十分条件を特定すること。
• 次元および補題性質と関連して、トップ局所コホモロジーモジュールのアートジン性を調査すること。
• コホモロジーディメンションの下界を応用し、非カタネラリーなネーター局所整域における素イデアルが集合論的完遂交差でないことを示すこと。

提案手法

• 最大コホモロジーディメンション未満の適切なイデアルの集合を用い、ネーター性により最大元を構成する。
• 局所コホモロジーモジュールのアートジン性を分析するために、メイヤー＝ビエトーリススペクトル系列の応用。
• 異なるイデアルおよび消滅子に関する局所コホモロジーを関連付けるために、グロテンディークスペクトル系列の使用。
• 局所コホモロジーモジュールの補題の次元の境界を用いて、アートジン性を決定する。
• 定理3.1の応用により、M/IM の次元に基づいてコホモロジーディメンションの下界を導出する。
• 対偶的議論および圏論的推論（例えば、与えられた圏に属さない部分商）を用いて、非アートジン性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたモジュールに関して、各イデアルが厳密に減少するコホモロジーディメンションを持つようなイデアルの下降鎖が存在するか？
• RQ2 モジュールのイデアルに関するコホモロジーディメンションの下界としての非負整数が成立する条件は何か？
• RQ3 イデアルに関するトップ局所コホモロジーモジュールがいつアートジンであるか？
• RQ4 コホモロジーディメンションの下界を用いて、非カタネラリー環における特定の素イデアルが集合論的完遂交差でないことを示せるか？
• RQ5 局所コホモロジーモジュールの補題の次元とそのアートジン性との関係は何か？

主な発見

• 任意のネーター環 R、イデアル I、および cd(I,M) = c > 0 を満たす R-モジュール M に対して、cd(I_i, M) = i をすべての 0 ≤ i ≤ c に対して満たすような I = I_c ⊃ I_{c-1} ⊃ ⋯ ⊃ I_0 というイデアルの下降鎖が存在する。
• 各 i に対して 0 ≤ i ≤ c−1 を満たす場合、トップ局所コホモロジーモジュール H^i_{I_i}(M) はアートジンでない。
• ネーター局所環 (R, m) において、次元 n の有限生成 R-モジュール M と、dim(M/IM) = d ≥ 1 を満たすイデアル I に対して、コホモロジーディメンション cd(I,M) は n−d 以上である。
• cd(I,M) = n−d ならば、H^d_m(H^{n−d}_I(M)) ≅ H^n_m(M) が成り立ち、双対性に類似した同型を確立する。
• 非カタネラリーなネーター局所整域において、集合論的完遂交差でない素イデアルが存在する。これはコホモロジーディメンションの下界による。
• 次元 dim(R/(I+Ann M)) = 1 を満たすネーター局所環 (R, m) において、トップ局所コホモロジーモジュール H^{cd(I,M)}_I(M) がアートジンであるための必要十分条件は cd(I,M) = n である。