[論文レビュー] On the complement of a positive normal crossing divisor with no triple intersection in a projective variety

Khoa Lu Nguyen|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異点の三重交わりのない正規交叉除法の補集合のシンプレクティック位相を研究し、除法が滑らかから正規交叉に退化する際、その補集合の Weinstein 構造が制御された方法で変化することを示している。主な結果は、特異的補集合を滑らか補集合へと Weinstein ホモトピー埋め込みすることであり、その差は臨界点が特異的局所のものに対応する基本的コボルディズムに分解され、そのインデックスが2つシフトする。これにより、ラグランジュ的サンゴやファイブレーションを用いたシンプレクティック不変量の計算が可能になる。

ABSTRACT

We describe how the Weinstein structure of the complement is modified when a positive divisor degenerates to a normal crossing divisor with no triple intersection.

研究の動機と目的

• 正のラインバンドルの切断の零除法が、三重交わりのない正規交叉除法に退化する際、その補集合の Weinstein 構造がどのように変化するかを理解すること。
• Weinstein コボルディズムと臨界点を用いて、滑らかと特異的補集合の間の位相的およびシンプレクティックな変更を記述すること。
• 滑らかな補集合と特異的補集合のシンプレクティックホモロジーの間の Viterbo トランスファーマップを確立すること。
• 滑らかな場合のラグランジュ的不安定部分多様体が、ファイブレーションおよび特異的局所とどのように関係するかを明らかにすること。
• 正規交叉除法によるコンパクト化を通じて、アフィン多様体のシンプレクティック不変量を計算するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 退化をモデル化するため、$ s_0 $ が正規交叉除法を持つ一方、$ \epsilon \neq 0 $ のとき $ s_\epsilon = s_0 + \epsilon h $ が滑らかであるような、$ s_\epsilon $ の族を構成する。
• Liouville 形式 $ \lambda_\epsilon = -d^c \phi_\epsilon $ を用いて、$ W_\epsilon = X \setminus D_\epsilon $ の補集合上に Weinstein 構造を定義する。ここで $ \phi_\epsilon = -\log \|s_\epsilon\|^2 $ である。
• シンプレクティック近傍定理と $ D_\epsilon $ の正規バンドル上の接続1形式 $ \alpha $ を用い、$ X $ 内の $ D_\epsilon $ の近傍へシンプレクティック同相を構成し、シンプレクティック形式を保存する。
• 臨界点 $ p \in \bar{S} $ の不安定部分多様体が、$ D_\epsilon(K) \cap \{ \tilde{\phi}_\epsilon \leq C \} $ の形のサンゴとして実現されるような、$ W_\epsilon $ 上の Weinstein ホモトピーを構築する。
• 複素ファイブレーション $ \pi = s_0/h: X \setminus h^{-1}(0) \to \mathbb{C} $ を用いて、滑らかな場合のラグランジュ的不安定部分多様体を記述する。
• シンプレクティック近傍定理と半径スケーリングを用い、Liouville ベクトル場が境界 $ Y $ に対して外向きに横断的であることを保証し、Reeb 動きが円分岐体をフォリエーションする接触境界の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな除法が三重交わりのない正規交叉除法に退化する際、その補集合の Weinstein 構造はどのように変化するか？
• RQ2 滑らかな補集合と特異的補集合の間の差の位相的およびシンプレクティック的性質は何か？
• RQ3 特異的補集合のシンプレクティックホモロジーは、どのように滑らかな補集合との間のトランスファーマップによって関係づけられるか？
• RQ4 滑らかな場合のラグランジュ的不安定部分多様体の幾何的起源は何か？ また、特異的局所とどのように関係するか？
• RQ5 正規交叉除法によるコンパクト化とそれに伴うシンプレクティック位相を用いて、アフィン多様体のシンプレクティック不変量を計算することは可能か？

主な発見

• $(W_0, \lambda_0, \phi_0)$ が $(W_\epsilon, \lambda_\epsilon, \phi_\epsilon)$ に Weinstein ホモトピー埋め込み可能であり、特異的補集合がシンプレクティックに滑らかな補集合へ埋め込まれることを示している。
• 補集合 $ W_\epsilon \setminus i(W_0) $ は基本的 Weinstein コボルディズムに分解され、その臨界点は特異的局所 $ \bar{S} $ のものに対応し、インデックスが2つシフトする。
• 適切な Weinstein ホモトピーの下で、$ W_\epsilon $ 内の臨界点のラグランジュ的不安定部分多様体は、$ D_\epsilon(K) \cap \{ \tilde{\phi}_\epsilon \leq C \} $ の形のサンゴとして実現可能である。ここで $ K \subset \bar{S} $ は部分レベル集合である。
• 複素次元2の場合、不安定部分多様体はサンゴ $ D_\epsilon(p) $ であり、その $ D_\epsilon $ との交わりは埋め込まれたラグランジュ的円周 $ L_0 $ である。
• $ \Gamma = D_\epsilon(p) \cap Y $ は接触境界 $ Y $ 内のレジェンドリアン紐結びであり、$ L_0 $ の単位法線円分岐体とハミルトニアン同相型である。これは、$ \{L_t\} $ の族であるラグランジュ的円周がベクトル場ホモトピーに沿って流れることで実現される。
• $ W_\epsilon $ のシンプレクティックホモロジーは、Viterbo トランスファーマップ $ \Phi $ を通じて $ W_0 $ のシンプレクティックホモロジーへ写される。そのマッピングコーンは、ラグランジュ的不安定部分多様体から構成されるチェーン複体 $ LH_* $ と準同型であり、包絡ホモロジーのワップド Fukaya 圏の Hochschild 複体に類似している。