[論文レビュー] On the numerical dimension of pseudo-effective divisors in positive characteristic

Paolo Cascini, Christopher D. Hacon+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正標数において、滑らかで射影的な代数多様体上の擬効果的 R-因子 D が、その因子的ザリスキ分解における負部と数的に同値でない限り、正の数的次元を持つことを確立する。証明はフロベニウス準同型と新たな消失定理に依拠しており、従来はカワマタ＝ヴィエヒェグ消失定理に依存していた特徴零標数における重要な結果を回復する。

ABSTRACT

Let X be a smooth projective variety over an algebraically closed field of positive characteristic. We prove that if D is a pseudo-effective R-divisor on X which is not numerically equivalent to the negative part in its divisorial Zariski decomposition, then the numerical dimension of D is positive. In characteristic zero, this was proved by Nakayama using vanishing theorems.

研究の動機と目的

• 特徴零標数における中谷の数的次元に関する結果を、標準的消失定理が成立しない正標数へと拡張すること。
• 擬効果的 R-因子の数的次元が、その因子的ザリスキ分解における負部と数的に同値でない限り正であることを示すこと。
• フロベニウス準同型を用いて新たな消失定理を確立し、正標数における曲線からのセクションの持ち上げを可能にすること。
• ネフ因子について、セクションの漸近的成長に基づく数的次元が、交差論的次元と一致することを証明すること。
• 双有理幾何学における主要な結果が、正標数においてフロベニウス技法を体系的に用いることで回復可能であることを示すこと。

提案手法

• 漸近的セール消失に依拠し、任意の標数で成り立つ一般の消失定理をフロベニウス準同型から導出すること。
• 擬効果的 R-因子のための因子的ザリスキ分解を構成し、数的不変量 $\sigma_{\Gamma}(D)$ を用いて負部 $N_{\sigma}(D)$ を定義すること。
• 定理 1.2 を適用し、一般のアンピール因子 $W = H_1 \cap \cdots \cap H_r$ が非ネフ局域 $\mathbf{B}_-(D)$ を避けるとき、$\mathcal{O}_X(\lfloor mD\rfloor + A)$ のセクションが $W$ に持ち上げられることを示すこと。
• 交差数 $(D^j \cdot H^{n-j})$ の非消滅性を用いて、$W$ への制限の正性を保証し、$h^0$ の下界を得ること。
• 次元に関する帰納法と一般の超平面切断への制限を用いて、ネフ因子について $\kappa_\sigma(D)$ と $\nu(D)$ を比較すること。
• 変形を用いて滑らかでない正標数の正標数的代数多様体へ結果を拡張し、引き戻しに伴う数的不変量の不変性を保つこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中谷の擬効果的因子の数的次元の正則性に関する結果は、正標数へと拡張可能か？
• RQ2 正標数におけるカワマタ＝ヴィエヒェグ消失定理の失敗は、フロベニウス準同型を用いることで克服可能であり、双有理幾何学の主要な結果を回復できるか？
• RQ3 ネフ R-因子 $D$ について、数的次元 $\kappa_\sigma(D)$ は交差論的次元 $\nu(D)$ に等しいか？正標数において。
• RQ4 正標数において、$\mathcal{O}_X(\lfloor mD\rfloor + A)$ のセクションが部分多様体から全体の多様体へ持ち上げられる条件は何か？
• RQ5 非ネフ局域 $\mathbf{B}_-(D)$ は、正標数における因子的ザリスキ分解とどのように関係しているか？

主な発見

• 代数閉体上のある正標数の滑らかで射影的な代数多様体上の擬効果的 $\mathbf{R}$-因子 $D$ について、$D$ が $N_\sigma(D)$ と数的に同値でない限り、$\kappa_\sigma(D) \geq 1$ である。
• あるアンピール因子 $A$ と正の定数 $C > 0$ が存在し、すべての $m \gg 0$ に対して $h^0(X, \mathcal{O}_X(\lfloor mD\rfloor + A)) \geq Cm$ が成り立つ。
• 定理 1.2 は、$r < \dim X$ かつ $W = H_1 \cap \cdots \cap H_r$ が $\mathbf{B}_-(D)$ を避けるとき、すべての $m \geq 1$ に対して制限写像 $H^0(X, \mathcal{O}_X(\lfloor mD\rfloor + A)) \to H^0(W, \mathcal{O}_X(\lfloor mD\rfloor + A)|_W)$ が全射であることを確立する。
• ネフ $\mathbf{R}$-因子 $D$ について、数的次元 $\kappa_\sigma(D)$ は、交差論的次元 $\nu(D)$ に等しい。ここで $\nu(D)$ は、$(D^j \cdot H^{n-j}) \neq 0$ となる最大の $j$ として定義される。
• $\kappa_\sigma(D) = \nu(D)$ の等式は、滑らかでない正標数の正標数的代数多様体に対しても、変形と引き戻し不変性により成り立つ。
• フロベニウス準同型により、カワマタ＝ヴィエヒェグ消失定理が特徴零標数で果たす役割を代替する新たな消失定理が得られ、正標数における主要な正則性結果の回復が可能になる。