[論文レビュー] On the construction of some Buchsbaum varieties and the Hilbert scheme of elliptic scrolls in P^5

Dolores Bazan, Emilia Mezzetti|ArXiv.org|May 17, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、P⁵ 上の余接バンドルに O(2) をかけたものへの自明バンドルからその morphism の退化点集合として Buchsbaum 多様体を構成し、特に楕円的正規スクリューに注目する。P⁵ に埋め込まれた楕円的スクリューの Hilbert 様式 H への Grassmannian G(2,14) からの支配的有理写像 ρ を構成し、一般ファイバーの次数が 4 であることを示し、特に一価立方曲線を持つスクリューに関連する特殊な線形複体のネットの幾何を特徴づける。

ABSTRACT

We study the degeneracy loci of general bundle morphisms from the direct sum of m copies of the structural sheaf on $P^n$ to $Ω(2)$, also from the point of view of the classical geometrical interpretation of the sections of $Ω(2)$ as linear line complexes. We consider in particular the case of $P^5$ with m=2, 3. For n=5 and m=3 we give an explicit description of the Hilbert scheme H of elliptic normal scrolls in $P^5$, by defining a natural rational map from the Grassmannian G(2,14) to H, which results to be dominant with general fibre of degree four.

研究の動機と目的

• 一般の morphism O^⊕m → Ω_P^n(2) の退化点集合を算術的に Buchsbaum 多様体として研究すること。
• n=5 かつ m=2,3 の場合を特に分析し、退化点集合として楕円的正規スクリューに注目すること。
• P⁵ に埋め込まれた楕円的正規スクリューの Hilbert 様式 H を、自然な有理写像 ρ: G(2,14) ⇢ H を用いて記述すること。
• ρ の支配性とそのファイバーの構造を特定し、特に一価立方曲線および特殊な線形複体のネットと関連して調べること。
• 第二種特殊複体が原因で、線形複体のネットの特異点集合の余次元が 3 ではなく 2 になる条件を特徴づけること。

提案手法

• 退化点集合 X の構造層 O_X の局所自由な分解を Eagon-Northcott 複体を用いて構成する。
• 古典的な幾何学的手法を用い、Ω_P^n(2) の切断を P^n 内の線形複体として解釈し、morphism φ: O^⊕m → Ω_P^n(2) を解釈する。
• n=5 かつ m=3 の場合、期待される次元が 2 であるとき、退化点集合 X が次数 6 の楕円的正規スクリューであることを示す。
• P⁵ に埋め込まれた楕円的スクリューの Hilbert 様式 H を、O^3 → Ω_P^5(2) の morphism の空間を用いて自然な有理写像 ρ: G(2,14) ⇢ H として定義する。
• 与えられた楕円的スクリュー X を特異面として持つ線形複体のネットの数を調べることで、ρ のファイバーを分析する。
• 幾何的射影やファイバー解析（例：p_k: X → P³）を用い、X に含まれる直線を含む特殊複体の構造を調べる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理写像 ρ: G(2,14) ⇢ H が、morphism からその退化点集合を写すものとして支配的であるか。一般ファイバーの次数は何か？
• RQ2 P⁵ 内の楕円的スクリューに存在する一価立方曲線の数と種別が、そのスクリューを特異面として持つ線形複体のネットの構造にどのように影響するか？
• RQ3 線形複体のネットの特異点集合の余次元が 3 ではなく 2 になる条件は何か。どのような幾何的配置がこれに起因するか？
• RQ4 与えられた楕円的スクリュー X ⊂ P⁵ を特異面として持つ 4 つの線形複体のネットを明示的に構成可能か。X に 1 つまたは 2 つの一価立方曲線がある場合、それらのネットはどのように異なるか？
• RQ5 第二種特殊複体が線形複体のネットの特異点集合に果たす役割は何か。特異点集合の余次元にどのように影響するか？

主な発見

• 有理写像 ρ: G(2,14) ⇢ H は支配的であり、一般ファイバーの次数は 4 である。これは Fano も知っていた古典的結果を裏付ける。
• P⁵ 内に埋め込まれた楕円的正規スクリュー X が異なる 2 つの一価立方曲線を持つとき、X を特異面として持つ一般の線形複体のネットはちょうど 4 つ存在する。
• X が 1 つの一価立方曲線、または 1 次元族の一価立方曲線を持つ場合、4 つのネットのうちの 1 つは第二種特殊複体を含み、その結果特異点集合の余次元が 3 ではなく 2 になる。
• そのようなネットの特異点集合は、X と、ネットに含まれる第二種特殊複体の特異的 3 次元空間の和集合である。
• タイプ 2 のスクリュー X（一意な一価立方曲線が平面 π を生成する）に対して、π 内のすべての直線は、X を特異面として持つ一般のネット Δ のすべての複体に属する。
• タイプ 3 のスクリュー X（γ × P¹ に同型で、γ が平面 π 内の立方曲線）に対しては、X を含む 1 次元の楕円的系 {H_k} の特殊複体が存在し、それぞれが X 内の直線 k を特異直線として持つ。