[論文レビュー] On the convergence of monotone schemes for path-dependent PDE

Zhenjie Ren, Xin Tan|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、経路依存型偏微分方程式（PPDE）に適用される単調な数値スキームの収束定理を確立し、古典的なBarles-Souganidis枠組みを拡張する。離散時間の最適停止問題に基づく安定性および一致性条件の再定式化により、有限差分、モンテカルロ、および木構造に基づく手法を含むすべての標準的単調スキームが、PPDEの粘性解に収束することを証明した。これにより、非マルコフ型確率的制御および2次元バックワードSDEの数値的解法が可能になる。

ABSTRACT

We propose a reformulation of the convergence theorem of monotone numerical schemes introduced by Zhang and Zhuo for viscosity solutions of path-dependent PDEs, which extends the seminal work of Barles and Souganidis on the viscosity solution of PDE. We prove the convergence theorem under conditions similar to those of the classical theorem in the work of Barles and Souganidis. These conditions are satisfied, to the best of our knowledge, by all classical monotone numerical schemes in the context of stochastic control theory. In particular, the paper provides a unified approach to prove the convergence of numerical schemes for non-Markovian stochastic control problems, second order BSDEs, stochastic differential games etc.

研究の動機と目的

• 状態空間が局所コンパクト性を欠く非局所コンパクトな状況において、PDEに対する古典的Barles-Souganidis収束定理を経路依存型PDE（PPDE）に拡張すること。
• PPDEにおける非局所コンパクト性の問題を、先行研究とは異なる新しい離散時間最適停止問題のアプローチにより克服すること。
• 有限差分、半ラグランジュ、および三項木スキームを含む、すべての古典的単調数値スキームが、提案された収束条件を満たすことを示すこと。
• 非マルコフ型確率的制御問題、確率的微分ゲーム、および2次元バックワードSDEのための一般化された数値スキーム構築の枠組みを提供すること。
• すべての既知の古典的単調スキームが最適制御の文脈で満たす新しい条件が、既存の収束結果を統一的かつ一般化することを示すこと。

提案手法

• 連続時間最適停止問題を用いたZhangとZhuo（2015）の手法とは異なり、制御された過程における離散時間最適停止問題を用いて、PPDEにおける単調スキームの収束定理を再定式化する。
• 解およびテスト関数のモジュラス連続性の有界性と連続性を活用し、離散時間過程間の差の期待値に基づく新しい安定性の議論を導入する。
• 収束を背理法により確立する：数値解が収束しないと仮定し、スキームの終端値の期待値に関する推定を用いて矛盾を導く。
• PPDEの粘性解の安定性性質と、離散測度がウィENER測度に収束することを組み合わせ、スキームの一貫性における誤差項を制御する。
• 非コンパクト状態空間に対処するため、停止時刻τ*による局所化技術を適用し、コンパクト部分集合上でスキームの誤差に一様な境界を保証する。
• 有限差分、モンテカルロ、木構造スキームなどの古典的スキームが、提案された枠組み下で新しい一貫性、単調性、安定性条件を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態空間が局所コンパクト性を欠くPPDEの文脈において、PDEに対する古典的Barles-Souganidis収束定理を拡張可能か？
• RQ2 非局所コンパクト性が存在する状況下で、単調数値スキームがPPDEの粘性解に収束するための条件は何か？
• RQ3 有限差分、モンテカルロ、木構造スキームを含む標準的単調スキームが、経路依存的文脈において新しい収束条件を満たすか？
• RQ4 提案された枠組みにより、非マルコフ型2次元バックワードSDEおよび確率的微分ゲームのための新しい数値スキームを構築可能か？
• RQ5 連続時間最適停止に依存せずに、経路空間の非局所コンパクト性を克服する収束証明の方法は何か？

主な発見

• 提案された収束定理は、古典的Barles-Souganidis結果をPPDEに一般化し、古典的ケースと類似した条件下で、単調スキームの局所一様収束を確立する。
• 最適制御文脈におけるすべての古典的単調スキーム（有限差分、半ラグランジュ、三項木、モンテカルロスキームなど）が、新しい収束条件を満たし、非マルコフ型問題への拡張が可能になる。
• 非局所コンパクトな経路空間の問題を克服するため、ZhangとZhuo（2015）の連続時間アプローチとは異なる、離散時間最適停止問題のアプローチを導入した。
• 収束証明は、スキームの終端値の期待値に関する境界を用いた背理法に依存し、誤差項はモジュラス連続性と測度収束によって制御される。
• この枠組みにより、zに依存する生成子を持つ2次元バックワードSDEおよび非マルコフ型確率的微分ゲームに対する、初めての既知の数値スキームが可能になる。
• 証明における誤差推定では、離散化パラメータh → 0の下で、数値解と粘性解の差を任意に小さくできることが示され、εδ/4型の境界により明示的な制御が可能になる。