[論文レビュー] On the Effective Putinar's Positivstellensatz and Moment Approximation

Lorenzo Baldi, Bernard Mourrain|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2021

Polynomial and algebraic computation参考文献 26被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな基本的代数的半代数的集合上でプティナールのポジティビスツェレーゼンの最初の多項式次数の上限を提供し、正性証明の次数を定量化するための新しいロジャシエフィツ指数を導入する。また、多項式最適化におけるラッセルレのモーメント-SOS階層の最初の一般多項式収束速度の上限を確立し、正則性条件を満たす場合にロジャシエフィツ指数が1に等しくなることを示す。この条件下で、切断された確率測度と擬モーメント系列のハウスドルフ距離に関する最初の上限も得られる。

ABSTRACT

We analyse the representation of positive polynomials in terms of Sums of Squares. We provide a quantitative version of Putinar's Positivstellensatz over a compact basic semialgebraic set S, with a new polynomial bound on the degree of the positivity certificates. This bound involves a Lojasiewicz exponent associated to the description of S. We show that if the gradients of the active constraints are linearly independent on S (Constraint Qualification condition),this Lojasiewicz exponent is equal to 1. We deduce the first general polynomial bound on the convergence rate of the optima in Lasserre's Sum-of-Squares hierarchy to the global optimum of a polynomial function on S, and the first general bound on the Hausdorff distance between the cone of truncated (probability) measures supported on S and the cone of truncated pseudo-moment sequences, which are positive on the quadratic module of S.

研究の動機と目的

• コンパクトな基本的代数的半代数的集合上で正である多項式の正性証明の次数に対する有効的かつ定量的な境界を提供すること。
• グローバル多項式最適化におけるラッセルレのモーメント-SOS階層の収束速度に対する最初の一般多項式境界を確立すること。
• コンパクト集合上での切断された確率測度と、モーメント階層における切断された正の擬モーメント系列との間のハウスドルフ距離に関する境界を導出すること。
• 半代数的集合の幾何構造に関連するロジャシエフィツ指数を分析し、正則性条件を満たす場合にそれが1に等しいことを示すこと。
• 有効な正性証明とモーメント近似の適用範囲を一般多項式最適化および一般化されたモーメント問題に拡張すること。

提案手法

• 距離と制約の代数的次数との関係を定量化する新しいロジャシエフィツ指数を導入し、正性証明の次数と関連付ける。
• 正則性条件（CQC）の下で、ロジャシエフィツ指数が1に等しいことを証明し、境界を簡略化し、多項式収束速度を可能にする。
• 2次モジュールのアーキメデス性を用いてコンパクト性を保証し、モーメントに基づく最適化階層を可能にする。
• 線形汎関数のノルム推定を用いて、切断された確率測度の錐と、切断された正の擬モーメント系列の錐との間のハウスドルフ距離に上限を付ける。
• モーメント行列の性質とフロベニウスノルムの上限を用いて、切断された線形汎関数の作用素ノルムを制御する。
• これらの上限を応用し、ラッセルレの階層におけるプライマル問題（多項式最適化）およびデュアル問題（モーメント近似）の両方の収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな基本的代数的半代数的集合上で多項式の正性を証明するために必要な最小の平方和表現の次数は、内在的な幾何的パラメータの観点からどのように定式化できるか？
• RQ2 ラッセルレのモーメント-SOS階層は、このような集合上で多項式のグローバル最適値にどの程度の速度で収束するか？また、この収束速度は階層のレベルと問題データに関して多項式的に上限づけられるか？
• RQ3 切断された擬モーメント系列が、コンパクト集合にサポートを持つ実際の確率測度のモーメント系列に収束する最適な速度は何か？
• RQ4 半代数的集合のロジャシエフィツ指数は、プティナールのポジティビスツェレーゼンにおける次数境界にどのように影響するか？
• RQ5 切断された確率測度の錐と、正の擬モーメント系列の外挙動近似錐との間のハウスドルフ距離に対して、有効な境界を確立できるか？

主な発見

• 本稿は、コンパクトな基本的代数的半代数的集合上で多項式のグローバル最適値に収束するラッセルレのモーメント-SOS階層の収束速度に対する最初の一般多項式境界を確立した。
• 正則性条件の下で、ロジャシエフィツ指数が正確に1に等しいことが証明され、プティナールのポジティビスツェレーゼンにおける次数境界が簡略化され、鋭くなる。
• 切断された確率測度と正の擬モーメント系列との間のハウスドルフ距離に対する新しい境界が導出され、切断の次数とロジャシエフィツ指数に明示的な依存関係を持つ。
• モーメント階層の収束速度境界は、切断の次数 t と誤差 ε の逆数に関して多項式的であり、指数は 2.5nŁ であることが示された。ここで Ł はロジャシエフィツ指数である。
• Ł=1（CQC 条件下）の場合、収束速度境界は t と ε−1 に関して多項式的になり、具体的には O(t^{3.5n} \binom{n+t}{t}^{5n/4} ε^{-2.5n}) となる。
• 結果として、半正定値プログラミングの緩和における収束の定量的解析が可能な、有効かつ計算可能な境界が、プライマル問題およびデュアル問題の両方に対して得られた。