[論文レビュー] On the Group of Almost-Riordan Arrays

Paul Barry|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、冪級数の三つ組で定義されるほぼリオーダン行列の群——古典的リオーダン群の上位群である——を導入する。この群は、リオーダン行列に対応する陪集合をなす正規部分群を同定し、特定のほぼリオーダン行列が、カタラン多項式およびフィボナッチ多項式に関連する数列に対して顕著なハンケル変換の性質を有する変換を誘導することを示している。

ABSTRACT

We study a super group of the group of Riordan arrays, where the elements of the group are given by a triple of power series. We show that certain subsets are subgroups, and we identify a normal subgroup whose cosets correspond to Riordan arrays. We give an example of an almost-Riordan array that has been studied in the context of Hankel and Hankel plus Toepliz matrices, and we show that suitably chosen almost-Riordan arrays can lead to transformations that have interesting Hankel transform properties.

研究の動機と目的

• 三つの冪級数で定義されるより広い行列のクラスを導入することで、リオーダン行列の理論を拡張すること。
• ほぼリオーダン群内に正規部分群を同定し、その商群が古典的リオーダン群に同型であることを示すこと。
• 特に組合せ論的意味を持つ数列に対して、ほぼリオーダン行列の変換特性を調査すること。
• これらの変換の下で得られる像の数列のハンケル変換の挙動を調査すること、特にカタランおよびフィボナッチ多項式に関連する数列に対して焦点を当てる。
• ほぼリオーダン行列、ハンケル行列式、直交多項式またはチェビシェフに類似した構造との間の関係を確立すること。

提案手法

• 整数係数をもつ形式的冪級数の三つ組 $(g(x), f(x), h(x))$ を用いて、標準的リオーダン対 $(g(x), f(x))$ を一般化したほぼリオーダン行列を定義する。
• 新規クラスに対する群演算（積と逆元）を確立し、行列積に関して閉包性および可逆性を示す。
• 系列の逆関数 $ar{f}(x)$ を用いて、ほぼリオーダン行列の逆行列を表現し、標準的リオーダン逆行列公式を拡張する。
• リオーダン行列の基本定理を応用し、ほぼリオーダン行列が母関数に作用する方法を定義する：$(g,f,h) ullet a(x) = g(x) ullet a(f(x))$。
• 生成行列とその構造的特徴づけにおける役割を分析する。特に、$P = A_P^{-1} ar{I} A_P$ という関係を用いる。
• 母関数の係数行列を用いて、像の数列のハンケル変換を計算し、パターンを特定し、有理母関数の予想を立てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リオーダン群は、三つの冪級数で定義される下三角行列のより大きな群の商群としてどのように埋め込まれるか？
• RQ2 ほぼリオーダン行列の群の代数的構造は何か？また、その商群が古典的リオーダン群に同型となるような正規部分群を含むか？
• RQ3 どのほぼリオーダン行列が、ハンケル変換が単純または周期的なパターンを示す像の数列を生成するか？
• RQ4 ほぼリオーダン行列によって変換された数列のハンケル変換は、有理母関数として表現可能か？その構造はいかなるものか？
• RQ5 ハンケル変換の母関数の係数行列と、既知の組合せ論的配列（例えば、チェビシェフ多項式に関連するもの）との間にどのような関係があるか？

主な発見

• ほぼリオーダン行列の群は、古典的リオーダン群の上位群であり、リオーダン群はほぼリオーダン群の特定の正規部分群による商群に同型である。
• ほぼリオーダン行列 $(2 - c(x), c(x), x c(x))$ は、シフトされたフィボナッチ多項式に作用し、その像数列のハンケル変換の母関数が $y$ と $x$ を含む有理形式をとることを示している。
• 特定のほぼリオーダン行列による像数列 $b_n(y)$ のハンケル変換は、$y=1$ のとき $(-1)^n$（ヤコブスティャル数列）、$y=2$ のとき $(-2)^n$（フィボナッチ数列）であることが示され、周期的かつ指数的挙動を示している。
• ハンケル変換の母関数の係数行列に二項行列 $B$ を左から乗じると、$B^2$ の累乗が埋め込まれた構造が得られ、より深い代数的構造が示唆される。
• 変換後の係数行列には、逆順列のパターンが現れ、これは既知の第4種チェビシェフ多項式に関連する配列（OEIS A228565 および A180870）に対応している。
• ほぼリオーダン行列を $F_{n+1}(y)$ に作用させた数列のハンケル変換について、$x$ と $y$ を用いた明示的な分子および分母をもつ有理母関数の予想が提示されている。