[論文レビュー] On the integration of LA-groupoids and duality for Poisson groupoids

Luca Stefanini|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、リー代数群の内部に存在するリー代数群の族であるLA-群oidsを、二重リー群oidsに統合する関手的アプローチを提示する。ファイバード積とリー代数群ホモトピーにおける上昇条件を用いる。主な結果は、上部のリー代数群が可積分であるLA-群oidsが、適切な上昇条件を満たす場合、シンプレクティック二重群oidsに統合されることであり、これはシンプレクティック還元を介してポアソン群oidsの双対性を実現する。

ABSTRACT

In this note a functorial approach to the integration problem of an LA-groupoid to a double Lie groupoid is discussed. To do that, we study the notions of fibred products in the categories of Lie groupoids and Lie algebroids, giving necessary and sufficient conditions for the existence of such. In particular, it turns out, that the fibred product of Lie algebroids along integrable morphisms is always integrable by a fibred product of Lie groupoids. We show that to every LA-groupoid with integrable top structure one can associate a differentiable graph in the category of Lie groupoids, which is an integrating double Lie groupoid, whenever some lifting conditions for suitable Lie algebroid homotopies are fulfilled; the result specializes to the case of a Poisson groupoid, yielding a symplectic double groupoid, provided our conditions on the associated LA-groupoid are satisfied.

研究の動機と目的

• LA-群oidsを二重リー群oidsに統合する関手的枠組みの構築。
• リー群oidsおよびリー代数群の圏におけるファイバード積の存在に関する必要十分条件の特定。
• ポアソン群oidsの場合に、LA-群oidsの可積分性とシンプレクティック二重群oidsの存在との関係の確立。
• 統合されたグラフにおける乗法の整合性を構成するにあたり、リー代数群のパスおよびホモトピーの上昇条件の役割の明確化。
• LA-群oidsの統合から生じるシンプレクティック二重群oidsを介したポアソン群oidsにおける双対性の探求。

提案手法

• リー代数群およびリー群oidsのファイバード積を用い、写像が可積分である限り、リー代数群のファイバード積が常に可積分であることを示す。
• 乗法を備えない「微分可能グラフ」（リー群oidsの構造を有するが乗法を持たないもの）を導入し、LA-群oidsの統合をモデル化する。
• A-パスおよびA-ホモトピーの Weinstein 群oids構成を適用し、モノドロミー群oidsを介して可積分性条件を特徴付ける。
• リー群oidsのファイバード積がリー群oidsの圏に留まるように、横断性条件を課す。
• コルタン・シグマ模型の位相空間のシンプレクティック還元を用いて、リー双代数群oidsからシンプレクティック二重群oidsを構成する。
• 2番目および3番目のニューロスが1連結である場合、上昇条件がリー代数群ホモトピーに課されることで、統合グラフ上の整合的な2重乗法が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可積分な写像に沿ったリー代数群のファイバード積が、いつ可積分なリー群oidsをもたらすか。
• RQ2 可積分な上部構造を有するLA-群oidsが、いつ二重リー群oidsに統合可能か。
• RQ3 リー代数群のパスおよびホモトピーの上昇条件は、統合された二重群oidsにおける整合的乗法の存在とどのように関係するか。
• RQ4 2番目および3番目のニューロスの1連結性が、ポアソン群oidsからシンプレクティック二重群oidsを構成するにあたり果たす役割は何か。
• RQ5 ポアソン群oidsの二重化は、コルタン・シグマ模型のシンプレクティック還元を介して構成可能か。また、これと双対性の関係は何か。

主な発見

• 可積分な写像に沿ったリー代数群のファイバード積は、常にリー群oidsのファイバード積によって可積分である。
• リー代数群のホモトピーに関する上昇条件が満たされれば、可積分な上部リー代数群を有するLA-群oidsは、リー群oidsの圏における可逆的単位的微分可能グラフに統合される。
• 2番目および3番目のニューロスに連結性の仮定が課されれば、統合グラフは2重乗法を備え、二重リー群oidsとなる。
• 連結性の仮定は、元のLA-群oidsにのみ依存する、リー代数群のパスおよびホモトピーの上昇条件によって示唆される。
• ポアソン群oidsの場合、この構成によりシンプレクティック二重群oidsが得られ、ポアソン群oidsとその弱双対との間の双対性が実現される。
• 出発多様体が正方形であり、境界条件が適切に選ばれているとき、シンプレクティック二重群oidsはコルタン・シグマ模型の還元された位相空間内でのラグランジュ部分群oidsとして生じる。