[論文レビュー] On the Local Equivalence of 2D Color Codes and Surface Codes with Applications

Arun B. Aloshious, Arjun Nitin Bhagoji+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、線形代数的枠組みを用いて、2次元（2D）カラーブロックと関連する表面コードの2重に同一の局所的同値性を確立する。著者らは、O(n)ゲート複雑性を持つアーキテクチャに依存しない量子回路を明示的に提示し、カラーブロックを表面コードに変換可能にし、特にビット反転および量子消去チャネルにおいて、表面コードデコーダーを用いたカラーブロックのデコーディングを可能にする。

ABSTRACT

In recent years, there have been many studies on local stabilizer codes. Under the assumption of translation and scale invariance Yoshida classified such codes. His result implies that translation invariant 2D color codes are equivalent to copies of toric codes. Independently, Bombin, Duclos-Cianci, and Poulin showed that a local translation invariant 2D topological stabilizer code is locally equivalent to a finite number of copies of Kitaev's toric code. In this paper we focus on 2D topological color codes and relax the assumption of translation invariance. Using a linear algebraic framework we show that any 2D color code (without boundaries) is locally equivalent to two copies of a related surface code. This surface code is induced by color code. We study the application of this equivalence to the decoding of 2D color codes over the bit flip channel as well as the quantum erasure channel. We report the performance of the color code on the square octagonal lattice over the quantum erasure channel. Further, we provide explicit circuits that perform the transformation between 2D color codes and surface codes. Our circuits do not require any additional ancilla qubits.

研究の動機と目的

• 翻訳の対象外：並進不変性を要件としない2次元カラーブロックと表面コードの間の局所的同値性を確立すること。
• 翻訳の対象外：既存の表面コードデコーダーのアルゴリズムを活用して2次元カラーブロックのデコーディングを可能にすること。
• 翻訳の対象外：カラーブロックと表面コードの間の変換を実装する明示的かつアーキテクチャに依存しない量子回路の開発。
• 翻訳の対象外：提案された同値性を用いて、量子消去チャネルにおけるカラーブロックの性能を分析すること。
• 翻訳の対象外：エラーモデルをカラーブロックから表面コードにマッピングし、デコーダー設計を支援すること。

提案手法

• 翻訳の対象外：線形代数的枠組みを用いて、2次元カラーブロックと関連表面コードの2重に同一の局所的ユニタリ変換を定義する。
• 翻訳の対象外：CNOT、SWAP、アダマールゲートを用いた明示的量子回路を構築し、O(n)ゲート複雑性でコード変換を実装する。
• 翻訳の対象外：U、V、SWAP、Hゲートのユニタリ操作の系列を定義し、コード間での論理演算子および安定化子をマッピングする。
• 翻訳の対象外：1キュービットエラーおよび消去を変換し、カラーブロック表現と表面コード表現との間でのマッピングを示す。
• 翻訳の対象外：マッピングを用いて表面コードデコーダーをカラーブロックデコーディングに適応させる。特にハードデシジョンおよび消去チャネルにおいて有効である。
• 翻訳の対象外：エラーモデル変換を分析し、デコーダーの互換性と性能の正確性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 翻訳の対象外：並進不変性を要件としない状況下でも、2次元カラーブロックが表面コードと局所的に同値にできるか？
• RQ2 翻訳の対象外：局所的同値性をどのように活用して、表面コードデコーダーを用いてカラーブロックをデコードできるか？
• RQ3 翻訳の対象外：カラーブロックと表面コードの間の変換におけるゲート複雑性は何か？また、最適化可能か？
• RQ4 翻訳の対象外：カラーブロックにおける1キュービットのX/Zエラーおよび消去は、表面コードのどのエラーにマッピングされるか？
• RQ5 翻訳の対象外：表面コード同値性を用いてデコードする場合、2次元カラーブロックの量子消去チャネルにおける性能はいかほどか？

主な発見

• 翻訳の対象外：任意の2次元カラーブロックは、並進不変性を要件とせず、関連表面コードの2重に同一の局所的同値性を持つ。
• 翻訳の対象外：変換は、nキュービットのコードに対してO(n)のCNOT、SWAP、アダマールゲートを用いたアーキテクチャに依存しない量子回路で実装される。
• 翻訳の対象外：正方形・八角形格子カラーブロックでは、ℓ_f = 4およびm_f = 2の場合、n個のCNOT、n/4個のSWAP、n/2個のアダマールゲートを用いる。
• 翻訳の対象外：論理演算子および安定化子が保持されるため、表面コードデコーダーを直接カラーブロックデコーディングに使用可能になる。
• 翻訳の対象外：シミュレーション結果から、同値性によりビット反転および量子消去チャネルにおいて効果的なデコーディングが可能であることが示され、特にソフトデシジョンまたは相関エラーモデルにおいて顕著である。
• 翻訳の対象外：カラーブロックにおける1キュービットのX/Zエラーおよび消去は、表面コードにおける対応するエラーに体系的にマッピングされ、エラーモデルの移行が可能になる。