[論文レビュー] On the multiplicities of the irreducible highest weight modules over Kac-Moody algebras

Sergey Mozgovoy|ArXiv.org|Sep 13, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、クイバーに付随するKac-Moody代数の整形式最高重層モジュールの重み多重度と、関連する拡大Kac-Moody代数の根多重度の間の明確な対応関係を確立する。クイバー多様体、Kac多項式、および非可除根に関するKac予想を用いて、モジュール $ L(\overline{\nu}) $ の重みの多重度が、$ \mathfrak{g}(\Gamma_*) $ の特定の根の根多重度に等しいことを証明し、Hauselの結果と一致するクイバー多様体のPoincaré多項式の明示的公式が得られる。

ABSTRACT

We prove that the weight multiplicities of the integrable irreducible highest weight module over the Kac-Moody algebra associated to a quiver are equal to the root multiplicities of the Kac-Moody algebra associated to some enlarged quiver. To do this, we use the Kac conjecture for indivisible roots and a relation between the Poincare polynomials of quiver varieties and the Kac polynomials, counting the number of absolutely irreducible representations of the quiver over finite fields. As a corollary of this relation, we get an explicit formula for the Poincare polynomials of quiver varieties, which is equivalent to the formula of Hausel.

研究の動機と目的

• Kac-Moody代数の整形式最高重層モジュールの重み多重度と、より大きなKac-Moody代数の根多重度との関係を明らかにすること。
• クイバー多様体と、有限体上の絶対的単純表現を数えるKac多項式との間の関係を確立すること。
• Kac多項式およびKac予想を用いて、クイバー多様体のPoincaré多項式の明示的公式を導出すること。
• モジュール $ L(\overline{\nu}) $ の重みの多重度が、$ \Gamma_* $ が拡大クイバーである $ \mathfrak{g}(\Gamma_*) $ の根空間の次元に等しいことを証明すること。

提案手法

• 各頂点 $ i \in I $ に $ \nu_i $ 本の矢印を向ける新しい頂点 $ * $ を加えることにより、拡大クイバー $ \Gamma_* $ を定義する。
• 次元 $ 2d $ の双対クイバー $ \overline{\Gamma}_* $ の表現のモジュライ空間としてクイバー多様体 $ \mathcal{M}(\alpha, \nu) $ を用いる。ここで $ d = 1 - T_*(\alpha, 1) $ である。
• 恒等式 $ \sum_i h^{2i}_c(\mathcal{M}) q^i = q^d a_{(\alpha,1)}(\Gamma_*, q) $ を用いて、コンパクト台付きコホモロジー $ h^{2i}_c(\mathcal{M}) $ をKac多項式 $ a_{(\alpha,1)}(\Gamma_*, q) $ に関連付ける。
• 非可除根に関するKac予想（$ a_\alpha(\Gamma, 0) = \dim \mathfrak{g}(\Gamma)_\alpha $）を適用し、重み多重度と根多重度を等しくする。
• $ \lambda $-環構造とアダムス作用を用いて、Kac多項式 $ a(\Gamma, q) $ と関数 $ r_\alpha(\Gamma, q) $ の生成関数を関連付け、$ a(\Gamma, q) = (q-1)\operatorname{Log}(r(\Gamma, q)) $ という公式を導出する。
• 定理3を導出：$ \sum_\alpha q^{-d(\alpha,\nu)} p(\mathcal{M}, q) x^\alpha = (q-1) \frac{r_{(\alpha,1)}(\Gamma_*, q)}{r(\Gamma, q)} $ であり、これはPoincaré多項式の直接計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kac-Moody代数の整形式最高重層モジュールの重み多重度は、より大きなKac-Moody代数の根多重度とどのように関係しているか？
• RQ2 Kac多項式および表現論的不変量を用いて、クイバー多様体のPoincaré多項式を明示的に計算できるか？
• RQ3 クイバー多様体のコホモロジーと有限体上の絶対的単純表現の数の間には、どのような明確な関係があるか？
• RQ4 非可除根に関するKac予想は、最高重層モジュールの多重度公式を示唆するか？
• RQ5 クイバー多様体のPoincaré多項式の生成関数は、$ r $-関数とKac多項式を用いて表現できるか？

主な発見

• 重み多重度 $ \dim L(\overline{\nu})_{\overline{\nu}-\alpha} $ は根多重度 $ \dim \mathfrak{g}(\Gamma_*)_{(\alpha,1)} $ に等しく、拡大代数のモジュール重みと根空間の間の直接的な対応関係を確立する。
• クイバー多様体 $ \mathcal{M}(\alpha, \nu) $ のPoincaré多項式は $ p(\mathcal{M}, t^2) = \sum_i h^{2i}_c(\mathcal{M}) t^{2i} $ で与えられ、その生成関数は $ \sum_i h^{2i}_c(\mathcal{M}) q^i = q^d a_{(\alpha,1)}(\Gamma_*, q) $ を満たす。
• Poincaré多項式の公式はHauselの結果と一致する：$ \sum_\alpha q^{-d(\alpha,\nu)} p(\mathcal{M}, q) x^\alpha = (q-1) \frac{r_{(\alpha,1)}(\Gamma_*, q)}{r(\Gamma, q)} $。
• コホモロジー $ h^{2i}_c(\mathcal{M}) $ は奇数次元ではゼロであり、$ h^{2d}_c(\mathcal{M}) = q^{-d} p(\mathcal{M}, q) \big|_{q=0} $ が成り立ち、多重度が多項式の定数項と関連づけられる。
• 非可除根に関するKac予想により $ a_{\alpha}(\Gamma, 0) = \dim \mathfrak{g}(\Gamma)_\alpha $ が成り立ち、この関係を用いて重み多重度と根多重度を等しくする。
• $ r_{\alpha}(\Gamma, q) $ の生成関数は明示的に $ \sum_{|\lambda|=\alpha} \frac{q^{-T(\lambda)}}{\prod_i \varphi_{\lambda^i}(q^{-1})} $ で与えられ、ここで $ \varphi_n(q) = (1-q)\cdots(1-q^n) $ である。