[논문 리뷰] On the other side of the bialgebra of chord diagrams

Victor Tourtchine|ArXiv.org|2004. 11. 19.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 3$)에서의 장점 링크 공간의 (코)homology를 계산하는 Vassiliev 스펙트럴 시퀀스의 상단 라인에 해당하는 부분이 전부 자명한 (코)homology 군을 가짐을 증명한다. 논문은 분열의 임베딩 계층이 생성하는 복합체의 (코)homology를 $\Omega^2 S^{d-1}$의 (코)homology의 부분군으로 식별하며, Poisson 또는 Gerstenhaber 대수의 Hochschild 복합체에 대해 실현된 Dyer-Lashof 연산으로서의 새로운 호모로지 연산을 도입한다. 이러한 연산들은 스펙트럴 시퀀스의 상단 라인에 있는 사이클을 묘사한다.

ABSTRACT

In the paper we describe complexes whose homologies are naturally isomorphic to the first term of the Vassiliev spectral sequence computing (co)homology of the spaces of long knots in R^d, d>=3. The first term of the Vassiliev spectral sequence is concentrated in some angle of the second quadrant. In homological case the lower line is the bialgebra of chord diagrams (or its superanalog if d is even). We prove that the groups of the upper line are all trivial. In the same bigradings we compute the homology groups of the complex spanned only by strata of immersions in the discriminant (maps having only self-intersections). We interprete the obtained groups as subgroups of the (co)homology groups of the double loop space of a (d-1)-dimensional sphere. In homological case the last complex is the normalized Hochschild complex of the Poisson or Gerstenhaber (depending on parity of d) algebras operad. The upper line bigradings are spanned by the operad of Lie algebras. To describe the cycles in these bigradings we introduce new homological operations on Hochschild complexes. It will be proven elsewhere that these operations are related to Dyer-Lashof homology operations defined for double loop spaces.

연구 동기 및 목표

• 장점 링크 공간의 $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 3$)에 대한 Vassiliev 스펙트럴 시퀀스의 첫 번째 항의 (코)homology 군을 계산하는 것.
• Lie 대수의 옵레드와 관련된 빈도수의 이중으로 배열된 라인에 해당하는 스펙트럴 시퀀스의 상단 라인의 구조를 규명하는 것.
• 분열 내 임베딩 계층의 복합체의 (코)homology를 $\Omega^2 S^{d-1}$의 (코)homology의 부분군으로 식별하는 것.
• 상단 라인의 스펙트럴 시퀀스에 있는 사이클을 실현하는 Hochschild 복합체 위의 새로운 호모로지 연산을 도입하고 특성화하는 것.
• 이 연산들이 소수의 작은 정사각형 옵레드의 작용에 의해 유도되며, Dyer-Lashof 연산으로서의 동치성을 확립하는 것.

제안 방법

• 논문은 $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 3$)에서의 장점 링크 공간에 대한 Vassiliev 스펙트럴 시퀀스의 첫 번째 항의 (코)homology 군과 동형인 복합체를 구성한다.
• 유한 차원 근사법을 사용하여 장점 링크 공간의 분열의 한점 컴acts화된 공간의 (코)homology를 엄밀히 정의한다.
• 상단 라인의 스펙트럴 시퀀스는 $d$의 홀짝성에 따라 Poisson 또는 Gerstenhaber 대수의 옵레드의 정규화된 Hochschild 복합체에서 유래된 것으로 해석함으로써 분석된다.
• 반복적인 Gerstenhaber 괄호와 mod $p$ 조합론을 사용하여 Hochschild 복합체 위에 새로운 호모로지 연산 $\xi_1$ 및 $\zeta_1$을 정의한다.
• 이 연산들이 Dyer-Lashof 공리계를 만족하며, 소수의 작은 정사각형 옵레드의 작용에 의해 유도됨을 보인다.
• 결과는 정수 및 mod $p$ 계수로 확장되어 $\Omega^2 S^{d-1}$의 (코)homology 이중대수의 명시적 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 장점 링크에 대한 $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 3$)에서의 Vassiliev 스펙트럴 시퀀스 상단 라인의 (코)homology 군은 자명한가?
• RQ2 분열 내 임베딩 계층의 복합체의 (코)homology는 $\Omega^2 S^{d-1}$의 (코)homology의 부분군으로 식별될 수 있는가?
• RQ3 Hochschild 복합체 위의 어떤 호모로지 연산이 Vassiliev 스펙트럴 시퀀스 상단 라인의 사이클을 실현하는가?
• RQ4 이 연산들은 소수의 작은 정사각형 옵레드에 의해 유도되는 Dyer-Lashof 연산과 동치인가?
• RQ5 $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Z}_2$, 그리고 홀수 소수 $p$에 대해 $\Omega^2 S^{d-1}$의 (코)homology 이중대수의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 모든 $d \geq 3$에 대해 Vassiliev 스펙트럴 시퀀스 상단 라인의 (코)homology 군은 자명하며, 이는 스펙트럴 시퀀스의 첫 번째 항이 하단 라인에 집중되어 있음을 의미한다.
• 분열 내 임베딩 계층이 생성하는 복합체의 (코)homology는 $\Omega^2 S^{d-1}$의 (코)homology의 부분군과 동형이며, $d$의 홀짝성에 따라 그 구조가 달라진다.
• Hochschild 복합체 위의 새로운 호모로지 연산 $\xi_1$ 및 $\zeta_1$은 Dyer-Lashof 공리계를 만족하며, 소수의 작은 정사각형 옵레드의 작용에 의해 유도됨을 보였다.
• $\mathbb{Q}$에서 $H_*(\Omega^2 S^{d-1}; \mathbb{Q})$는 $d \geq 4$인 짝수 $d$에 대해 하나의 생성자 $\varphi$를 가진 외부 이중대수이며, $d \geq 5$인 홀수 $d$에 대해 두 개의 생성자를 가진 계차 다항식 이중대수이다.
• $\mathbb{Z}_2$에서 $H_*(\Omega^2 S^{d-1}; \mathbb{Z}_2)$는 차수 $2^k(d-2)-1$에 있는 생성자 $\xi_1^k \varphi$를 가진 계차 다항식 이중대수이다.
• $\mathbb{Z}_p$에서 홀수 소수 $p$에 대해, (코)homology 이중대수는 차수에 따라 정의된 외부 생성자 $\xi_1^k \varphi$와 다항식 생성자 $\zeta_1 \xi_1^k \varphi = \beta \xi_1^{k+1} \varphi$를 가진 계차 다항식 이중대수이며, $d$의 홀짝성에 따라 달라진다.