[論文レビュー] On the preservation of Gibbsianness under symbol amalgamation

Jean-René Chazottes, Edgardo Ugalde|ArXiv.org|Jul 3, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、元のポテンシャルが Hölder 継続的である限り、全符号付きシフト上のギブス測度が記号の統合のもとでもギブス的であることを確立する。統合による押し出し測度は、わずかに正則性が低いポテンシャルに関してギブス的であることが証明され、2記号ポテンシャルの特別な場合においては、得られる隠れマルコフ連鎖が Hölder ポテンシャルと関連したギブス測度であることが示される。

ABSTRACT

Starting from the full--shift on a finite alphabet $A$, mingling some symbols of $A$, we obtain a new full shift on a smaller alphabet $B$. This amalgamation defines a factor map from $(A^{\mathbb N},T_A)$ to $(B^{\mathbb N},T_B)$, where $T_A$ and $T_B$ are the respective shift maps. According to the thermodynamic formalism, to each regular function (`potential') $ψ:A^{\mathbb N} o{\mathbb R}$, we can associate a unique Gibbs measure $μ_ψ$. In this article, we prove that, for a large class of potentials, the pushforward measure $μ_ψ\circπ^{-1}$ is still Gibbsian for a potential $ϕ:B^{\mathbb N} o{\mathbb R}$ having a `bit less' regularity than $ψ$. In the special case where $ψ$ is a `2--symbol' potential, the Gibbs measure $μ_ψ$ is nothing but a Markov measure and the amalgamation $π$ defines a hidden Markov chain. In this particular case, our theorem can be recast by saying that a hidden Markov chain is a Gibbs measure (for a Hölder potential).

研究の動機と目的

• 記号の統合によるギブス測度の押し出し測度がギブス的である条件を特定すること。
• 統合後のより小さいアルファベット上での誘導ポテンシャルの正則性を分析すること。
• 従来のマルコフ近似とソフィック符号付きシフトに関する結果を、より広いクラスのポテンシャルへと拡張すること。
• 2記号ポテンシャルから生じる隠れマルコフ連鎖が、Hölder ポテンシャルと関連したギブス測度として表現可能であることを示すこと。
• 熱力学的形式主義と記号的力学の技術を統合し、マルコフ近似の一様収束を証明すること。

提案手法

• 全符号付きシフト A^N 上の一般の Hölder ポテンシャル ψ の近似として、r ステップのマルコフ近似 (ψ_r) の列を構成する。
• Birkhoff による Perron-Frobenius 定理の精錬を用いて、ψ_r に関連する転送作用素のスペクトル的性質を分析する。
• テレスコピック積と周期的近似を用いて、測度 μ_ψ_r と μ_ψ を比較し、弱-* 収束を保証する。
• ψ の分散と θ ∈ (0,1) を含む指数的減衰項を用いて、シリンダー確率の比に一様な境界を確立する。
• 極限手続きにより B^N 上の誘導ポテンシャル φ を導出し、誤差を制御したギブス不等式を満たすことを示す。
• エルゴディック分解定理を適用して、μ_ψ_r の弱-* 収束先が元のギブス測度 μ_ψ に一致することを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記号の統合によるギブス測度の押し出し測度がギブス的である条件は何か？
• RQ2 アルファベット B における誘導ポテンシャル φ の正則性は、元のアルファベット A 上のポテンシャル ψ と比べてどう異なるか？
• RQ3 2記号ポテンシャルから生じる隠れマルコフ連鎖は、Hölder ポテンシャルと関連したギブス測度として表現可能か？
• RQ4 Hölder ポテンシャルに対して、r ステップのマルコフ近似 μ_ψ_r の弱-* 収束先は元のギブス測度 μ_ψ に一致するか？
• RQ5 ポテンシャルの変動を用いて、マルコフ近似がギブス測度に収束する速度は何か？

主な発見

• 任意の A^N 上の Hölder 継続的ポテンシャル ψ に対して、記号の統合 π による押し出し測度 μ_ψ∘π⁻¹ は B^N 上でギブス的である。
• ψ が Hölder 継続的であれば、B^N 上の誘導ポテンシャル φ も Hölder 継続的であり、ψ よりわずかに正則性が低い。
• ψ が 2 記号ポテンシャルである場合、得られる隠れマルコフ連鎖はギブス的であり、Hölder ポテンシャルと関連している。
• r ステップのマルコフ近似 μ_ψ_r の列は、r→∞ のとき元のギブス測度 μ_ψ に弱-* 収束する。
• 収束速度は、∑_s (|w| + (s+1)(s+2)) var_s ψ + s θ^s の和によって制御され、r→∞ のとき 0 に収束する。
• 極限測度 μ = lim_r→∞ μ_ψ_r は、エルゴディック分解におけるエルゴディック成分の一意性により、μ_ψ と一致する。