[論文レビュー] On the Primes in the Interval [3n, 4n]

Andy Loo|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2011

History and Theory of Mathematics参考文献 1被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、任意の正の整数 $ n $ に対して、区間 $[3n, 4n]$ に少なくとも1つの素数が存在することを証明している。これはベルトランドの補題（$[n, 2n]$ の場合）を $k=3$ に拡張したものである。初等的な数論および二項係数と素数階乗の上限を用いて、$n$ が増加するにつれて無限大に発散するような $[3n, 4n]$ 内の素数個数の下界を確立している。素数定理や高度な解析的道具に依存していない。

ABSTRACT

For the old question whether there is always a prime in the interval [kn, (k+1)n] or not, the famous Bertrand's postulate gave an affirmative answer for k=1. It was first proved by P.L. Chebyshev in 1850, and an elegant elementary proof was given by P. Erdos in 1932. M. El Bachraoui used elementary techniques to prove the case k=2 in 2006. This paper gives a proof of the case k=3, again without using the prime number theorem or any deep analytic result. In addition we give a lower bound for the number of primes in the interval [3n, 4n], which shows that as n tends to infinity, the number of primes in the interval [3n, 4n] goes to infinity.

研究の動機と目的

• すべての正の整数 $n$ に対して、区間 $[3n, 4n]$ に少なくとも1つの素数が存在することを確立すること。これはベルトランドの補題を $k=3$ に拡張するものである。
• 素数定理や複素解析を用いずに、$[3n, 4n]$ 内の素数の存在を初等的に証明すること。
• $[3n, 4n]$ 内の素数個数の非自明な下界を導出し、$n$ と共に増加することを示すこと。
• $n$ が無限大に近づくにつれて、$[3n, 4n]$ 内の素数個数が無限大に発散することを示すこと。

提案手法

• 中心的な対象として二項係数 $\binom{4n}{3n}$ を用い、素数の大きさに基づき三つの部分 $T_1$、$T_2$、$T_3$ に分解する。
• 補題1.2を用いて、$x$ 以下の素数の積に対する上限 $\prod_{p \leq x} p \leq 4^x$ を適用する。
• 関数 $f(x)$ と $g(x)$ を用いたスターリング型の上限を $n!$ に適用し、$g(n) < n! < f(n)$ となるようにし、関連関数 $h_1(x)$ と $h_2(x)$ の単調性を証明する。
• 各素数 $p$ が $\binom{4n}{3n}$ に寄与する指数 $\beta(p)$ を分析し、$\sqrt{4n} < p \leq 3n$ の範囲では $\beta(p) \leq 1$ であり、特定の範囲では $p$ の倍数が $4n$ を超えるため $\beta(p) = 0$ であることを示す。
• 中間範囲の素数が $T_2$ に与える寄与を抑えるために、$A$、$B$、$C$、$D$ という補助的な二項係数に類似した積を構成する。
• 二項係数 $\binom{4n}{3n}$、$T_1$、$T_2$ の上限を組み合わせることで、$(3n, 4n]$ 内の素数の積 $T_3$ の下界を導出し、$n \to \infty$ のとき $T_3 \to \infty$ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての正の整数 $n$ に対して、区間 $[3n, 4n]$ に少なくとも1つの素数が存在するか？
• RQ2 この結果は、素数定理や複素解析に依存せずに、初等的手段で証明可能か？
• RQ3 $[3n, 4n]$ 内の素数個数の非自明な下界は、$n$ の関数としてどのように表せるか？
• RQ4 $n$ が無限大に近づくにつれて、$[3n, 4n]$ 内の素数個数は無限大に発散するか？

主な発見

• すべての正の整数 $n$ に対して、区間 $[3n, 4n]$ に少なくとも1つの素数が存在する。
• $n$ が無限大に近づくにつれて、$[3n, 4n]$ 内の素数個数は無限大に発散する。つまり、任意の $m$ に対して、ある $L$ が存在し、すべての $n \geq L$ に対して $[3n, 4n]$ 内に少なくとも $m$ 個の素数が存在する。
• $(3n, 4n)$ 内の素数個数の下界は、$\log_{4n}\left(\frac{\sqrt{3}\pi^{3/2}}{332800}e^{E}M^{n}(4n)^{-\sqrt{n}}n^{-5/2}\right)$ で与えられ、$n \to \infty$ のとき無限大に発散する。
• 下界に現れる定数 $M$ は $M > 1$ を満たし、指数的増加を保証する。また、$e^E \to 1$ であるため、$n \to \infty$ のとき $e^E$ は1に近づく。
• 証明は完全に初等的であり、素数定理に依存せず、階乗、二項係数、素数階乗の上限にのみ依存している。
• 直接的な検証により、$n < e^{12}$ のすべての $n$ に対して結果が成り立つことが確認され、漸近的議論により $n \geq e^{12}$ の場合もカバーされ、$n \geq 1$ 全ての $n$ に対して証明が完成する。