[論文レビュー] On the Stability and the Exponential Concentration of Extended Kalman-Bucy filters

Pierre Del Moral, Aline Kurtzmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2016

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿はカイ二乗分布の集中不等式とスペクトル理論を用いて、拡張カルマン・ブーツィー・フィルタの非漸近的指数的集中性および安定性の境界を確立する。フィルタの指数的忘れのレートおよびその関連するリカッチ方程式のフロベニウスノルムにおける明示的・定量的な推定値を導出し、一様安定性条件下における非線形フィルタに対して初めての結果を提供する。

ABSTRACT

The exponential stability and the concentration properties of a class of extended Kalman-Bucy filters are analyzed. New estimation concentration inequalities around partially observed signals are derived in terms of the stability properties of the filters. These non asymptotic exponential inequalities allow to design confidence interval type estimates in terms of the filter forgetting properties with respect to erroneous initial conditions. For uniformly stable signals, we also provide explicit non-asymptotic estimates for the exponential forgetting rate of the filters and the associated stochastic Riccati equations w.r.t. Frobenius norms. These non asymptotic exponential concentration and quantitative stability estimates seem to be the first results of this type for this class of nonlinear filters. Our techniques combine $χ$-square concentration inequalities and Laplace estimates with spectral and random matrices theory, and the non asymptotic stability theory of quadratic type stochastic processes.

研究の動機と目的

• 部分的に観測された信号の周囲における拡張カルマン・ブーツィー・フィルタの非漸近的指数的集中不等式を確立すること。
• 安定性の性質を用いて、誤った初期条件に対するフィルタの指数的忘れのレートを定量的に評価すること。
• フロベニウスノルムにおけるフィルタの指数的忘れのレートおよびリカッチ方程式のダイナミクスに対する明示的・非漸近的推定値を導出すること。
• 一様安定性仮定の下で非線形フィルタの厳密で定量的な安定性推定値を提供すること。
• 理論的フィルタ安定性と確率的フィルタリングにおける実用的信頼区間推定の間のギャップを埋めること。

提案手法

• フィルタ推定値と真の信号との乖離を制御するためにカイ二乗分布の集中不等式を用いる。
• ラプラス型推定と確率的行列理論を用いてリカッチ方程式のスペクトル的性質を分析する。
• 2次型確率過程の非漸近的安定性理論を用いて推定誤差ダイナミクスを制御する。
• 収束性を分析するためにリカッチ行列の逆行列に基づく2次型のリャプノフ型関数を導入する。
• スペクトルノルムと行列摂動技術を用いてポテンシャル関数のヘッセ行列に対する境界を導出する。
• ヘッセ行列のリプシッツ連続性を状態差のフロベニウスノルムの観点から確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張カルマン・ブーツィー・フィルタに対して非漸近的指数的集中不等式をどのように導出できるか？
• RQ2 一様安定性下で、フィルタの指数的忘れのレートに対する明示的・非漸近的境界は何か？
• RQ3 リカッチ方程式のスペクトル的性質は、フィルタの安定性および集中性にどのように影響するか？
• RQ4 フィルタの忘れの性質に基づいて、定量的な信頼区間推定を構築できるか？
• RQ5 ポテンシャル関数のヘッセ行列とフィルタダイナミクスの安定性との関係は何か？

主な発見

• 本稿は、真の信号からの乖離を定量的に評価する、拡張カルマン・ブーツィー・フィルタに対する初めての非漸近的指数的集中不等式を導出する。
• フィルタの指数的忘れのレートに対する明示的・非漸近的推定値が、リカッチ行列のフロベニウスノルムの観点から提供される。
• ポテンシャル関数のヘッセ行列が、状態差のフロベニウスノルムに比例する定数を用いてリプシッツ連続であることが示された。
• 解析により、2つの異なる状態におけるヘッセ行列の差の定量的境界が得られ、その定数は成分数およびポテンシャルの滑らかさに依存する。
• 結果は、カイ二乗分布の集中、ラプラス推定、および確率的行列のスペクトル理論の組み合わせによって導出された。
• このフレームワークにより、初期推定誤差が存在する場合でも、フィルタの忘れの挙動に基づいた信頼区間型推定の構築が可能となる。