[论文解读] On the structure of RCD spaces with upper curvature bounds

Vitali Kapovitch, Martin Kell+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 34被引用 6

一句话总结

该论文建立了亚历山大夫意义下具有上截面曲率界RCD空间的完整结构理论，证明其为具有边界的拓扑流形，其内部恰好由正则点构成。正则集是具有连续有界变差黎曼度量的$C^1$-光滑流形，该度量诱导原始距离，且边界与通过Gromov-Hausdorff切锥定义的几何边界一致。

ABSTRACT

We develop a structure theory for RCD spaces with curvature bounded above in Alexandrov sense. In particular, we show that any such space is a topological manifold with boundary whose interior is equal to the set of regular points. Further the set of regular points is a smooth manifold and is geodesically convex. Around regular points there are DC coordinates and the distance is induced by a continuous BV Riemannian metric.

研究动机与目标

• 发展亚历山大夫意义下具有上截面曲率界的$\rCD$空间的结构理论。
• 刻画正则集及其几何与拓扑性质。
• 建立此类空间中流形边界与几何边界的等价性。
• 证明正则集上的距离函数由连续有界变差黎曼度量诱导。
• 验证这些空间的弱非坍塌猜想，表明密度函数几乎处处为常数。

提出的方法

• 利用Gromov-Hausdorff切锥定义空间的几何维数与边界。
• 应用DC微积分与BV函数分析正则集上的正则性与度量结构。
• 在正则点附近构造DC坐标，建立局部$C^1$-结构。
• 利用最优传输与无穷小希尔伯特性确保RCD条件蕴含曲率界。
• 通过维数归纳法证明具有最大半径或对径点的空间的刚性结果。
• 利用非坍塌$\rCD$空间与$\rCAT(1)$空间的结果推导全局拓扑与度量性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有上截面曲率界的$\rCD(K,N)$空间是否也满足$\rCAT(\kappa)$性质？其拓扑与几何结构如何？
• RQ2 在这些空间中，正则点集与流形的内部及边界有何关系？
• RQ3 正则集上的距离函数能否由连续有界变差黎曼度量表示？
• RQ4 在何种条件下正则集上的密度函数为常数，这与弱非坍塌猜想有何关联？
• RQ5 当空间具有最大半径或包含对径点时，会涌现出何种刚性性质？

主要发现

• 空间$X$是具有边界的拓扑$n$-流形，其中$n = \dim_{\text{geom}} X$为几何维数。
• 空间$X$的内部等于正则点集$\mathcal{R}_n$，且对所有$k \neq n$，其余正则集$\mathcal{R}_k$均为空集，因此$\mathcal{R} = \mathcal{R}_n$。
• 正则集$\mathcal{R}$是测地凸的，且$\mathcal{R}$中的测地线可局部延拓。
• 正则集 admits $C^1$-流形结构，其上存在连续有界变差黎曼度量，该度量诱导原始距离。
• 流形边界$\partial X$与通过切锥定义的几何边界$\boldsymbol{\partial}X$一致。
• 在弱非坍塌情形下，密度函数$f(x) = \lim_{r \to 0} \frac{m(B_r(x))}{\omega_n r^n}$在$X$上$m$-几乎处处为常数。