[論文レビュー] On the supersingular K3 surface in characteristic 5 with Artin invariant 1

Toshiyuki Katsura, Shigeyuki Kondō+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、アーティン不変量1の特異的K3表面（特徴的5）に対して、3つの異なる射影的モデルを構成し、最小次数の滑らかな有理曲線を同定し、その自己同型群を計算する。また、超特異なアーベル曲面に存在する genus 5 のハイパーオービック曲線を用いて、K3曲面に初めて知られる96個の交差しない有理曲線からなる新しい (16₁₂)-配置を構成する。

ABSTRACT

We present three interesting projective models of the supersingular K3 surface X in characteristic 5 with Artin invariant 1. For each projective model, we determine smooth rational curves on X with the minimal degree and the projective automorphism group. Moreover, by using the superspecial abelian surface, we construct six sets of 16 disjoint smooth rational curves on X, and show that they form a beautiful configuration.

研究の動機と目的

• 特徴的5、アーティン不変量1の特異的K3曲面の3つの異なる射影的モデルを構成すること。
• 各モデルにおける滑らかな有理曲線の最小次数を特定し、自己同型群の作用の下での分類を行うこと。
• 曲面に16個の交差しない有理曲線の配置を構成し、その幾何学的および群論的性質を分析すること。
• Kummer曲面の構成から得られないK3曲面に (16₁₂)-配置が存在することを示すこと。

提案手法

• 著者たちはボルチェルズの方法とリーク・ラティスの幾何学を用いて、フェルマーの6次曲線 $x^6 + y^6 + z^6 = 0$ を分岐曲線とする $\mathbb{P}^2$ の2重被覆に対応する極性 $h_F$ を構成・検証する。
• 群論的およびラティス論的制約を用いて、次数60および80の極性 $h_1$ および $h_2$ を、ネロン＝セベール格子とその双対から同定する。
• 自己同型群は群作用を用いて決定される：$\operatorname{Aut}(X,h_F)$ は $\mathrm{PGU}(3,\mathbb{F}_{25})$ を中心に持つ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ による中央拡大であり、$\operatorname{Aut}(X,h_1) \cong \mathfrak{A}_8$、$\operatorname{Aut}(X,h_2) \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4 \rtimes (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathfrak{S}_4)$ である。
• 96個の有理曲線の配置は、超特異アーベル曲面と genus 5 のハイパーオービック曲線を用いて構成され、曲線の明示的な有理写像が提供される。
• (16₁₂)-配置の存在は、$\operatorname{Aut}(X,h_2)$ による作用の下で96個の曲線が2つの軌道（それぞれ48個）に分解されることを示すことによって確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーティン不変量1の特徴的5の特異的K3曲面の射影的モデルは何か？ それぞれの定義に用いられる極性は何か？
• RQ2 各モデルにおける滑らかな有理曲線の最小次数は何か？ また、自己同型群の作用の下でどのように分布しているか？
• RQ3 このK3曲面上に、16個の交差しない有理曲線の配置を構成できるか？ そのとき、各曲線が他の12曲線と交差する、(16₁₂)-配置が形成されるか？
• RQ4 自己同型群の作用が、3つのモデル間で有理曲線に与える影響はどのように異なるか？
• RQ5 (16₁₂)-配置は、Kummer曲面の構成から得られないK3曲面に実現可能か？

主な発見

• 2重被覆モデル $(X, h_F)$ は、$\mathbb{P}^2$ のフェルマーの6次曲線 $x^6 + y^6 + z^6 = 0$ を分岐曲線とする2次被覆であり、$h_F$ は直線の引き戻しである。このモデルには、ちょうど252個の次数1の滑らかな有理曲線が含まれる。
• 自己同型群 $\operatorname{Aut}(X, h_F)$ は、$\mathrm{PGU}(3,\mathbb{F}_{25})$ を中心に持つ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ による中央拡大であり、252個の次数1の有理曲線に推移的に作用する。
• モデル $(X, h_1)$ の自己同型群は、交代群 $\mathfrak{A}_8$ に同型であり、ちょうど168個の次数5の滑らかな有理曲線を含み、群はそれらに推移的に作用する。
• モデル $(X, h_2)$ の自己同型群の位数は1152であり、$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4 \rtimes (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathfrak{S}_4)$ に同型であり、96個の次数5の滑らかな有理曲線を含み、それぞれ48個の軌道に分解される。
• $(X, h_2)$ の96個の有理曲線は、(16₁₂)-配置をなす：6組の16個の交差しない曲線が存在し、それぞれが、各曲線が他の12曲線と交差する配置を形成する。これは、K3曲面に初めて知られるこのような配置である。