[論文レビュー] On the theory of canonical perturbations and its application to Earth rotation

Michael Efroimsky|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2004

Geophysics and Sensor Technology参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、地球の回転に適用された標準的摂動理論における根本的な欠陥を特定している：速度に依存する摂動は、回転力学を記述するために用いられるアンドイエール要素を非オシュレーティングにし、物理的解釈可能性を損なう。本研究では、オシュレーティングを維持するには標準方程式を放棄する必要があることが示され、キノシタ＝ソーシェ理論はこの点で非標準的ではあるが、慣性系における角速度を正しく計算している。これは直接測定可能な量である。

ABSTRACT

Both orbital and rotational dynamics employ the method of variation of parameters. We express, in a non-perturbed setting, the coordinates (Cartesian, in the orbital case, or Eulerian in the rotation case) via the time and six adjustable constants called elements (orbital elements or rotational elements). If, under disturbance, we use this expression as ansatz and endow the "constants" with time dependence, then the perturbed velocity (Cartesian or angular) will consist of a partial derivative with respect to time and a so-called convective term, one that includes the time derivatives of the variable "constants." Out of sheer convenience, the so-called Lagrange constraint is often imposed. It nullifies the convective term and, thereby, guarantees that the functional dependence of the velocity upon the time and "constants" stays, under perturbation, the same as it used to be in the undisturbed setting. When the dynamical equations, written in terms of the "constants," are demanded to be symplectic (and the "constants" make conjugated pairs $ Q, P$), these "constants" are called Delaunay elements, in the orbital case, or Andoyer elements, in the rotational case. The Andoyer and Delaunay sets of elements share a feature not visible with a naked eye: in certain cases, the standard equations render these elements non-osculating. Hence, even though the Andoyer variables in the Kinoshita-Souchay theory are introduced in a precessing frame of the Earth orbit, they nevertheless return the angular velocity relative to an inertial frame.

研究の動機と目的

• 標準的摂動理論を用いた地球の回転力学における誤差の原因を特定すること。
• 速度に依存する摂動下で、オシュレーティングな要素を維持することと正準方程式を保つことの間に生じる矛盾を明確にすること。
• 非オシュレーティングな要素を使用しているにもかかわらず、キノシタ＝ソーシェ理論が慣性系における角速度を物理的に正しい値として得られることを説明すること。
• 非オシュレーティングな要素が、瞬時の回転軸の向きを直接的に物理的に意味するものでないことを示すこと。
• オシュレーティング性を回復するが正準性を失う代償を支払う動的方程式の修正フレームワークを提供すること。

提案手法

• アンドイエール変数を正準共役対 (Q, P) として形式化し、軌道力学におけるデラウンの要素に類似させる。
• 時間微分の関数に依存する要素と、要素の時間微分を含む対流項を含む、摂動を受けた角速度を導出する。
• ラグランジュの制約を適用して対流項を消去し、オシュレーティングな要素を定義する。
• 速度に依存する摂動（非慣性系からのものなど）は、ハミルトニアンを単に修正するだけでは完全に扱えないと特定する。
• オシュレーティング性を回復するには、動的方程式に追加の項を加える必要があり、これによりそのシンプレクティック（正準）構造が破られることが示される。
• 配置変数の時間微分と要素に依存する関数の偏微分との関係を用いて、正しい角速度の式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ速度に依存する摂動下でアンドイエール要素は非オシュレーティングになるのか？
• RQ2 非オシュレーティングな要素が使用された場合、瞬時の回転軸の予測に及ぼす物理的影響は何か？
• RQ3 非オシュレーティングな要素を使用しているにもかかわらず、キノシタ＝ソーシェ理論が慣性系における角速度を正しく予測できるか？
• RQ4 速度に依存する摂動の下で、オシュレーティング性と正準性を同時に保持することは可能か？
• RQ5 オシュレーティング性の喪失が、惑星の回転モデルにおける回転要素の解釈に及ぼす影響は何か？

主な発見

• 非慣性系からのものなど、速度に依存する摂動は、アンドイエール要素を非オシュレーティングにし、それらが実際の軌道に接する回転を記述しなくなることを意味する。
• 非オシュレーティングな要素は、瞬時の回転軸の物理的向きを正しく表現できず、スピン軸の運動の誤解を招く。
• キノシタ＝ソーシェ理論は、回転軸が回転するフレームではなく、慣性系に対する角速度を計算しており、非オシュレーティングな要素を使用しているにもかかわらず、これは利点である。
• キノシタ＝ソーシェ理論の標準的方程式によって得られる角速度は、正しく、直接測定可能な量であるが、要素が非オシュレーティングであるため、その値は物理的解釈が難しい。
• 速度に依存する摂動下でオシュレーティング性を回復するには、ハミルトニアンを超えて動的方程式を修正する必要があり、これにより正準（シンプレクティック）構造が破られる。
• 軌道力学の状況でも同様の矛盾が生じる：速度に依存する摂動は、標準的惑星方程式を非オシュレーティングにし、摂動関数を超える追加の項が必要になる。