[論文レビュー] On the weights of mod $p$ Hilbert modular forms

Toby Gee|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Buzzard, Diamond, および Jarvisの、mod $p$ Hilbertモジュラー形式の可能な重みに関する予想の重要なケースを、モジュラー性上昇定理および$p$-進ホッジ理論を用いて証明する。正則な重みに対して、mod $p$ Hilbertモジュラー形式が表現から生じるための必要十分条件は、その重みが予想された集合 $W(\overline{\rho})$ に属することである。これは $p \geq 5$ かつ $\overline{\rho}$ が $F(\zeta_p)$ 上で既約であるという条件下で成り立つ。結果として、Serreのモジュラー性予想が全実体における重みの側面に拡張される。

ABSTRACT

We prove many cases of a conjecture of Buzzard, Diamond and Jarvis on the possible weights of mod $p$ Hilbert modular forms, by making use of modularity lifting theorems and computations in $p$-adic Hodge theory.

研究の動機と目的

• 全実体の文脈において、Buzzard, Diamond, および Jarvisが提起した mod $p$ Hilbertモジュラー形式の可能な重みに関する予想を証明すること。
• 与えられた mod $p$ ガロア表現 $\overline{\rho}$ に対して、正しい重みの集合 $W(\overline{\rho})$ を特定することにより、Serreのモジュラー性予想をHilbertモジュラー形式へ拡張すること。
• $p$-進ホッジ理論および変形理論を用いて、mod $p$ Hilbertモジュラー形式の重みと局所ガロア表現 $\overline{\rho}$ の間の明確な対応関係を確立すること。
• 正則かつ非通常のケース、および追加の上昇仮定の下での部分的に通常のケースにおいて、予想の重み部分を解決すること。

提案手法

• KisinおよびGeeのモジュラー性上昇定理を用いて、指定された局所変形型を持つガロア表現のモジュラー性を証明する。
• Breuilモジュールおよび強可除的モジュールを介した有限平坦群スキームの理論を用いて、$p$ で割った場所における局所ガロア表現を分析する $p$-進ホッジ理論を適用する。
• 各 $v|p$ における $\overline{\rho}|_{G_{F_v}}$ に対して、指定された型 $\tau_{\vec{a},\vec{b},J}$ の潜在的にBarsotti-Tate上昇を、組合せ的整合性条件を用いて構成する。
• Hodge-Tate重みと単位根の作用を介して定義される、部分集合 $J \subset \Sigma_v$ を通じた表現と重みの整合性の概念に依存する。
• 算術的規約（幾何的規約ではなく）を用いて、変形型と定義的四元数代数上の自動形式との間の $R = T$ 定理を関連付ける。
• 全体 $p$ 上の $\mathrm{GL}_2(\mathcal{O}_F/p)$ の既約表現 $\sigma_{\vec{a},\vec{b}}$ の構造を、$p$ 上の場所ごとのテンソル積として扱い、局所ラングランズ型の条件を通じて $\overline{\rho}$ との整合性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた mod $p$ ガロア表現 $\overline{\rho}$ に関連する Hilbert モジュラー形式の mod $p$ 追跡として現れる重み $\sigma$ はどれか？
• RQ2 局所ガロア表現型および $p$-進ホッジ理論を用いて、可能な重みの集合 $W(\overline{\rho})$ をどのように特徴づけられるか？
• RQ3 もし $\overline{\rho}$ が正則な重み $\sigma$ に対してモジュラーであるならば、その重み $\sigma$ が $W(\overline{\rho})$ に属する条件は何か？
• RQ4 変形論的技法を用いて、非通常および部分的に通常の重みに対して、Buzzard, Diamond, および Jarvisの予想を検証できるか？
• RQ5 モジュラー性上昇結果が適用可能であるために、$\overline{\rho}|_{G_{F(\zeta_p)}}$ が既約であるという条件が果たす役割は何か？

主な発見

• もし $\overline{\rho}$ が正則な重み $\sigma$ に対してモジュラーであるならば、$\sigma \in W(\overline{\rho})$ である。これは正則な場合の予想の一方の方向を確認する。
• 逆に、$\sigma \in W(\overline{\rho})$ が正則かつ非通常であれば、$\overline{\rho}$ は重み $\sigma$ に対してモジュラーである。これはこの場合の完全な対応関係を確立する。
• 型 $I$ の部分的に通常の重み $\sigma$ に対して、もし $\overline{\rho}$ が型 $I$ の部分的に通常のモジュラー上昇をもてば、$\overline{\rho}$ は重み $\sigma$ に対してモジュラーである。これはこのケースへの結果の拡張を示す。
• 証明は、各 $v|p$ における指定された型 $\tau_{\vec{a},\vec{b},J}$ の潜在的にBarsotti-Tate変形を、Breuilモジュールおよび有限平坦群スキームを介した局所解析を用いて構成することに依存する。
• $\sigma^{v}_{\vec{a},\vec{b}}$ と $\overline{\rho}|_{G_{F_v}}$ の整合性は、部分集合 $J$ を通じて定義され、Hodge-Tate重みおよび単位根作用の詳細な解析を通じて確立される。
• 結果は $p \geq 5$、$\overline{\rho}$ がモジュラーであること、および $\overline{\rho}|_{G_{F(\zeta_p)}}$ が既約であることという仮定に依存しており、特に後者の仮定が $R = T$ 定理の適用に不可欠である。