[論文レビュー] On the wellposedness of some McKean models with moderated or singular diffusion coefficient

Mireille Bossy, Jean-François Jabir|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特異的または緩和された拡散係数を有する2つの非線形 McKean-Vlasov SDE の適切な定式化を確立する。まず、 Hölder 条件に代えてソボレフ正則性の仮定の下での弱解の存在を示し、次に、速度における条件付き McKean 拡散と位置における非退化拡散を有するラグランジュ確率モデルを提示する。主な貢献は、拡散係数の強い強楕円性の下で、Girsanov 変換と組み合わせた新たな $L^2(\Omega)$-不動点議論であり、有界かつリプシッツ連続な係数と条件付き拡散項の均一楕円性の下で弱解およびパスごとの一意性を保証する。

ABSTRACT

We investigate the well-posedness problem related to two models of nonlinear McKean Stochastic Differential Equations with some local interaction in the diffusion term. First, we revisit the case of the McKean-Vlasov dynamics with moderate interaction, previously studied by Meleard and Jourdain in [16], under slightly weaker assumptions, by showing the existence and uniqueness of a weak solution using a Sobolev regularity framework instead of a Holder one. Second, we study the construction of a Lagrangian Stochastic model endowed with a conditional McKean diffusion term in the velocity dynamics and a nondegenerate diffusion term in the position dynamics.

研究の動機と目的

• 中程度の相互作用を有する McKean-Vlasov SDE の適切な定式化を、ホルダー連続性の代わりにソボレフ正則性の仮定で再定式化すること。
• 速度における条件付き McKean 拡散と位置における非退化拡散を有するラグランジュ確率モデルについて、弱解および強解の存在と一意性を確立すること。
• 非線形平均場 SDE の拡散係数における特異的カーネル依存性に起因する数学的課題を扱うこと。
• ラグランジュ粒子枠組みにおける条件付き McKean 拡散を用いた乱流流体の流れのモデル化のための厳密なフレームワークを提供すること。
• 従来の特異的 McKean SDE に関する結果を拡張し、漂流および拡散成分の両方に条件付き非線形性を扱えるようにすること。

提案手法

• 平方可積分密度を有する確率測度の空間における $L^2(\Omega)$-不動点議論を用いて弱解を構成する。
• 速度過程に Girsanov 変換を適用し、拡散係数 $\sigma(x)$ の強い強楕円性に依存して測度の絶対連続性を保証する。
• 漂流および拡散係数が位置を条件とする速度分布の条件付き期待値に依存する条件付き McKean SDE の定式化を用いる。
• 正則性の制御にフーリエ解析とパーサバルの等式を用い、$\triangle_x G^\gamma_{t-s}$ を含む熱核畳み込み項の $L^2$ 界を確立する。
• $b$, $\sigma$, $\ell$, $\gamma$ の有界性およびリプシッツ連続性、および条件付き拡散 $\Gamma[x;\rho_s]$ の均一楕円性を仮定し、パスごとの一意性を保証する。
• 滑らかさの良い関数 $\mathcal{C}^\infty_c$ の $L^2$ における稠密性を用いて、滑らか化されたカーネル $G^{\gamma,\delta}$ の極限をとる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中程度の相互作用を有する McKean-Vlasov SDE の適切な定式化は、ホルダー連続性の代わりに弱いソボレフ正則性仮定のもとでも再確立可能か？
• RQ2 速度における条件付き McKean 拡散と位置における非退化拡散を有するラグランジュ確率モデルは、有界かつリプシッツ連続な係数のもとで弱解を有するか？
• RQ3 特異的拡散構造を有するこのような条件付き McKean SDE において、パスごとの一意性を保証する条件は何か？
• RQ4 $L^2(\Omega)$-不動点法は、非線形 SDE の拡散係数における条件付き期待値を扱うためにどのように適合可能か？
• RQ5 フーリエ解析と $L^2$-ノルム推定を用いて、時空領域における条件付き拡散カーネルの正則性を制御可能か？

主な発見

• 本稿は、ホルダー連続性の仮定に代えてソボレフ正則性を仮定した中程度の相互作用を有する McKean-Vlasov SDE について、弱解の存在と一意性を確立する。
• 速度における条件付き McKean 拡散と位置における非退化拡散を有するラグランジュ確率モデルについて、$L^2(\Omega)$-不動点議論を用いて弱解を構成する。
• 条件付き拡散係数についての均一楕円性条件 $\xi \cdot \Gamma \xi \geq \gamma^2 |\xi|^2$ の下で、パスごとの一意性が達成される。
• $\int_0^t \triangle_x G^\gamma_{t-s} * f(s,x) \, ds$ の $L^2$ ノルムは $\frac{2}{\gamma^2} \|f\|_{L^2((0,T)\times\mathbb{R}^d)}$ で有界であり、解の構成における安定性を保証する。
• 滑らか化されたカーネル $G^{\gamma,\delta}$ を用いた近似は $L^2$ で真のカーネルに収束し、その結果得られる推定は $L^2((0,T)\times\mathbb{R}^d)$ のすべての $f$ に稠密性により拡張される。
• この手法により、解写像が $L^2(\Omega)$ の意味で収縮写像となることが保証され、提示された仮定のもとで一意解が得られる。