[論文レビュー] Existence of a calibrated regime switching local volatility model and new fake Brownian motions

Benjamin Jourdain, Alexandre Zhou|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Gyöngyの定理から導かれる非線形McKean型SDEの可解性を証明することにより、キャリブレーション可能なレジームスイッチング型ローカル・ボラティリティ・モデルの存在を確立する。有界な確率的ボラティリティ範囲の下で、Fokker-Planck PDEフレームワークを用いて、新たな連続的フェイク・ブラウン運動のクラスを導入し、ブラウン運動の周辺分布を持つ非マルコフ型拡散過程に関する先行結果を拡張する。

ABSTRACT

By Gyongy's theorem, a local and stochastic volatility (LSV) model is calibrated to the market prices of all European call options with positive maturities and strikes if its local volatility function is equal to the ratio of the Dupire local volatility function over the root conditional mean square of the stochastic volatility factor given the spot value. This leads to a SDE nonlinear in the sense of McKean. Particle methods based on a kernel approximation of the conditional expectation, as presented by Guyon and Henry-Labordère (2011), provide an efficient calibration procedure even if some calibration errors may appear when the range of the stochastic volatility factor is very large. But so far, no global existence result is available for the SDE nonlinear in the sense of McKean. In the particular case where the local volatility function is equal to the inverse of the root conditional mean square of the stochastic volatility factor multiplied by the spot value given this value and the interest rate is zero, the solution to the SDE is a fake Brownian motion. When the stochastic volatility factor is a constant (over time) random variable taking finitely many values and the range of its square is not too large, we prove existence to the associated Fokker-Planck equation. Thanks to Figalli (2008), we then deduce existence of a new class of fake Brownian motions. We then extend these results to the special case of the LSV model called regime switching local volatility, where the stochastic volatility factor is a jump process taking finitely many values and with jump intensities depending on the spot level. Under the same condition on the range of its square, we prove existence to the associated Fokker-Planck PDE. Finally, we deduce existence of the calibrated model by extending the results in Figalli (2008).

研究の動機と目的

• ストキャスティック・ボラティリティ要因が有限状態のジャンプ過程であり、状態に依存する強度を持つ場合のキャリブレーション可能なレジームスイッチング型ローカル・ボラティリティ・モデルの存在を確立すること。
• ローカル・ボラティリティおよびストキャスティック・ボラティリティ（LSV）モデルに生じるMcKean型SDEに対するグローバル解の存在という未解決問題に取り組むこと。
• 特定のボラティリティ制約下で、ブラウン運動の周辺分布を持つが、非ブラウン運動のパスを持つ連続的非マルコフ過程としてのフェイク・ブラウン運動の理論を拡張すること。
• 特にストキャスティック・ボラティリティ範囲が大きい場合に、LSVモデルにおける粒子ベースのキャリブレーション手法の厳密な解析的基盤を提供すること。

提案手法

• Gyöngyの定理を用いて、拡散係数がストキャスティック・ボラティリティ要因の条件付き期待値に依存する非線形SDEを株価に対して導出する。
• 大規模なボラティリティ範囲に対処するための正則化を施したカーネルベースの粒子法をキャリブレーションに適用する。
• アクティブラの株価とボラティリティ過程の連合分布に対するKolmogorov前向き方程式を分析することで、関連するFokker-Planck PDEの解の存在を証明する。
• テスト関数およびcompactly suppored smooth関数を用いた摂動および密度論的議論により、Fokker-Planck系の解の一意性を確立する。
• [12]の結果を拡張し、Fokker-Planck PDEの解を用いて、レジームスイッチング設定下でのフェイク・ブラウン運動の存在を示す。
• 随伴作用素および時間反転された遷移セミ群を用いた双対性議論により、測度値解の一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストキャスティック・ボラティリティ要因が状態に依存する強度を持つ有限状態のジャンプ過程である場合、キャリブレーション可能なレジームスイッチング型ローカル・ボラティリティ・モデルは存在するか？
• RQ2 有界なボラティリティ範囲の仮定の下で、キャリブレーション条件から生じる非線形McKean SDEは、グローバル解を持つと示せるか？
• RQ3 どのような条件下で、標準ブラウン運動ではないが、同じ有限次元分布を持つ連続的フェイク・ブラウン運動が存在するか？
• RQ4 有界なボラティリティ範囲の制約下で、株価とボラティリティ過程の連合分布に対するFokker-Planck PDEをグローバルに解くにはどのような条件が必要か？
• RQ5 先行結果の拡張により、Fokker-Planck系の可解性から、キャリブレーション可能なLSVモデルの存在を導けるか？

主な発見

• 本稿では、ストキャスティック・ボラティリティ要因の二乗の範囲が大きすぎないという条件下で、レジームスイッチング型ローカル・ボラティリティ・モデルに関連するFokker-Planck PDEのグローバル解の存在を証明する。
• Fokker-Planck系の解がブラウン運動の周辺分布を持つが、非ブラウン運動のパスを持つ過程を生じることを示すことにより、新たな連続的フェイク・ブラウン運動のクラスの存在を確立する。
• テスト関数および随伴セミ群を用いた双対性議論により、Fokker-Planck系の解の一意性が証明され、キャリブレーションが一意に定まることを保証する。
• ボラティリティ範囲が有界である限り、粒子法によるキャリブレーション誤差が制御可能であることが示され、モデルの実用的妥当性を支持する。
• フェイク・ブラウン運動の存在定理を、ブラウン運動の有限次元分布を持つが、非マルコフ的で連続的なマルティンゲールのより広いクラスへと拡張する。
• 解析的正則化および双対性技術を用いて、Fokker-Planck PDEの存在結果を元のMcKean SDEへと拡張することで、キャリブレーション可能なレジームスイッチング型ローカル・ボラティリティ・モデルのグローバル存在を示す。