[論文レビュー] On the zeta function on the line Re(s) = 1

Johan Andersson|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、リーマン・ゼータ関数および関連する $L$-関数の $\operatorname{Re}(s) = 1$ 上での $L^1$ および $L^\infty$-ノルムについて鋭い下界と上界を確立し、$\delta \to 0^+$ のとき $\int_T^{T+ au} |\zeta(1+it)|\,dt \asymp \delta^2$ が成り立つことを示している。ゼータ関数がこの直線上で普遍的でないことを証明し、Sato-Tateおよび潜在的自動形式性定理を用いて、正則モジュラー形式およびヒルベルトモジュラー形式のヘッケ $L$-関数への結果の拡張も行っている。

ABSTRACT

We show the estimates \inf_T \int_T^{T+δ} |ζ(1+it)|^{-1} dt =e^{-γ}/4 δ^2+ O(δ^4) and \inf_T \int_T^{T+δ} |ζ(1+it)| dt =e^{-γ} π^2/24 δ^2+ O(δ^4) as well as corresponding results for sup-norm, L^p-norm and other zeta-functions such as the Dirichlet L-functions and certain Rankin-Selberg L-functions. This improves on previous work of Balasubramanian and Ramachandra for small values of δand we remark that it implies that the zeta-function is not universal on the line Re(s)=1. We also use recent results of Holowinsky (for Maass wave forms) and Taylor et al. (Sato-Tate for holomorphic cusp forms) to prove lower bounds for the corresponding integral with the Riemann zeta-function replaced with Hecke L-functions and with δ^2 replaced by δ^{11/12+ε} and δ^{8/(3 π)+ε} respectively.

研究の動機と目的

• 長さ $\delta$ の区間上での $|\zeta(1+it)|$ および $|\zeta(1+it)|^{-1}$ の短い積分の正確な漸近的推定値を確立すること。
• リーマン・ゼータ関数が $\operatorname{Re}(s) = 1$ 上で普遍的かどうかという問題を解決し、$L^1$-ノルムでも成立しないことを示すこと。
• 最近の Sato-Tate および自動形式性の結果を用いて、ディリクレ $L$-関数、ランキン＝セルバーグ $L$-関数、およびモジュラー形式のヘッケ $L$-関数への分析を拡張すること。
• スペクトル理論およびフーリエ係数の分布的性質を活用して、$\operatorname{Re}(s) = 1$ 上の $L$-関数の $L^p$-ノルムに対する改善された下界を導出すること。

提案手法

• モリフィア法を用いて、$\int_T^{T+\delta} |\zeta(1+it)|\,dt$ および $\int_T^{T+\delta} |\zeta(1+it)|^{-1}\,dt$ の下界を導出する。
• 乗法的係数をもつディリクレ級数に対して、ジェンセンの不等式および対数的 $L^1$-ノルム推定値を適用する。
• バラスブラマニアン＝ラマチャンドラ法を用いて、$|\zeta(1+it)|$ の短い平均値に対する未条件下界を確立する。
• 正則尖型形式およびヒルベルトモジュラー形式の Sato-Tate 分布に関する最近の結果を活用して、$L^p$-ノルム推定値を導出する。
• 関数等式およびスティルチェスの公式を用いて、$\zeta(1+it)$ の偏角と絶対値を分析し、普遍性を妨げる剛性を示す。
• オイラー積をもつ一般ディリクレ級数の理論を用いて、算術的起源の $L$-関数への結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\delta \to 0^+$ のとき、$\inf_T \int_T^{T+\delta} |\zeta(1+it)|\,dt$ の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ2 リーマン・ゼータ関数は $\operatorname{Re}(s) = 1$ 上で $L^1$-ノルムまたは $L^2$-ノルムにおいて普遍的か？
• RQ3 Sato-Tate等分布を用いることで、$\operatorname{Re}(s) = 1$ 上の $L$-関数の $L^p$-ノルムに対する鋭い下界を確立できるか？
• RQ4 ヘッケ $L$-関数のモジュラー形式に対して、$\int_T^{T+\delta} |L(1+it)|\,dt \gg \delta^\alpha$ を満たす最適な指数 $\alpha$ は何か？
• RQ5 Akiyama-Tanigawa 予想のような強い仮定の下で、$L^p$-ノルム推定値における $\epsilon$-損失を除去できるか？

主な発見

• $\delta \to 0^+$ のとき、長さ $\delta$ の区間上での $|\zeta(1+it)|$ の $L^1$-ノルムの下界は、$\inf_T \int_T^{T+\delta} |\zeta(1+it)|\,dt = \frac{\pi^2 e^{-\gamma}}{24} \delta^2 + O(\delta^4)$ である。
• $\delta \to 0^+$ のとき、$|\zeta(1+it)|^{-1}$ の $L^1$-ノルムの下界は、$\inf_T \int_T^{T+\delta} |\zeta(1+it)|^{-1}\,dt = \frac{e^{-\gamma}}{4} \delta^2 + O(\delta^4)$ である。
• ハーディーの $Z$-関数の剛性および関数等式のおかげで、リーマン・ゼータ関数は $\operatorname{Re}(s) = 1$ 上で、$L^1$-ノルムでも普遍的ではない。
• 重み $\geq 2$ の正則尖型形式のヘッケ $L$-関数 $H(s)$ に対して、$\int_T^{T+\delta} |H(1+it)|\,dt \gg \delta^{1+8/(3\pi)+\epsilon}$ が成り立ち、$8/(3\pi) \approx 0.8488$ である。
• Sato-Tate 予想の下で、正則尖型形式に対して $\inf_T \int_T^{T+\delta} |H(1+it)|^p\,dt \asymp \delta^{1 + 8/(3\pi) \cdot p}$ が成り立つ。
• 本稿は、Akiyama-Tanigawa 予想の下で $\epsilon$-損失を除去できると予想しており、$\sum_{p\leq N} \frac{|a_p|}{p} = \frac{8}{3\pi} \log\log N + B + O((\log\log N)^{-2})$ が成り立つと示唆している。