[論文レビュー] On unipotent quotients and some A^1-contractible smooth schemes

Aravind Asok, Brent Doran|ArXiv.org|Mar 5, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、安定性条件とコhomologyの消滅を用いて、単位的群作用による擬準アフィンスキームの商がアフィンであるための条件を確立する。特徴値 0 の場合に、次元 $n \geq 4$ において、無限個の滑らかで非同型の、$\bbA^1$-収縮可能で厳密に擬準アフィンな多様体の族を構成し、$\bbG_a$-および $SL_2$-不変量から導かれる明示的な方程式を提示する。これは次元 6 以上で初めての例であり、次元 4 および 5 では無限個の非同型例が得られる。

ABSTRACT

We study quotients of quasi-affine schemes by unipotent groups over fields of characteristic 0. To do this, we introduce a notion of stability which allows us to characterize exactly when a principal bundle quotient exists and, together with a cohomological vanishing criterion, to characterize whether or not the resulting quasi-affine quotient scheme is affine. We completely analyze the case of G_a-invariant hypersurfaces in a linear G_a-representation W; here the above characterizations admit simple geometric and algebraic interpretations. As an application, we produce arbitrary dimensional families of non-isomorphic smooth quasi-affine but not affine n-dimensional varieties (n \geq 6) that are contractible in the sense of A^1-homotopy theory. Indeed, existence follows without any computation; yet explicit defining equations for the varieties depend only on knowing some linear G_a- and SL_2- invariants, which, for a sufficiently large class, we provide. Similarly, we produce infinitely many non-isomorphic examples in dimensions 4 and 5. Over C, the analytic spaces underlying these varieties are non-isomorphic, non-Stein, topologically contractible and often diffeomorphic to C^n.

研究の動機と目的

• 特徴値 0 において、擬準アフィンスキームの単位的群作用による商がアフィンである条件を同定すること。
• 単位的群作用の下で主バンドル商の存在を保証する安定性条件を構築すること。
• $\bbG_a$-および $SL_2$-作用の不変量を用いて、アフィンでないが滑らかで非同型の $\bbA^1$-収縮可能多様体の明示的構成を行うこと。
• このような多様体がすべての次元 $n \geq 4$ において存在することを示し、次元 4 および 5 では無限個の非同型例が得られ、次元 $n \geq 6$ では任意次元の族が得られることを示すこと。

提案手法

• 擬準アフィンスキーム上の単位的群作用に対して、主バンドル商の存在を保証する安定性の概念を導入する。
• van Est のスペクトル系列を適用し、$U$-コホモロジーと ${\mathfrak{u}}$-コホモロジーを関連づけ、商のアフィン性のコホモロジー的基準を得る。
• アーチンスタック商 $[X/U]$ を用い、スタック上での $U$-torsor の自明性が商がアフィンスキームであることを示す。
• グロテンディークのスペクトル系列を用いて、$H^1(U, \Gamma(X, \cO_X))$ を $H^1(\frak{u}, \Gamma(X, \cO_X))$ に同定し、群コホモロジーとリー代数コホモロジーを結びつける。
• 降下理論と代表可能性を用いて、スタック商の代表的セクションが存在することと、商がアフィンスキームであることが同値であることを示す。
• $\bbG_a$-不変な超曲面を線形 $\bbG_a$-表現内で構成し、$\bbG_a$-および $SL_2$-不変量によって定まる方程式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬準アフィンスキームの単位的群作用による商がアフィンである条件は何か？
• RQ2 滑らかで非同型の、アフィンでない $\bbA^1$-収縮可能多様体を構成可能か？ もしそうなら、どの次元で可能か？
• RQ3 このような多様体の明示的定義方程式は、単位的群および $SL_2$-作用の不変量からどのように導出可能か？
• RQ4 特に $H^1(U, \Gamma(X, \cO_X)) = 0$ のようなコホモロジーの消滅が、商のアフィン性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 これらの構成は任意の次元に一般化可能か？ また、非同型例の無限族を生成可能か？

主な発見

• 本稿はコホモロジー的基準を確立する：$H^1(U, \Gamma(X, \cO_X)) = 0$ であることは、$H^1(\frak{u}, \Gamma(X, \cO_X)) = 0$ であることと同値であり、商 $X/U$ がアフィンであるための必要十分条件である（商が存在する場合に限る）。
• 線形 $\bbG_a$-表現における $\bbG_a$-不変超曲面に対して、商がアフィンであることは、リー代数 $\frak{u}$ に関する $\Gamma(X, \cO_X)$ への係数付きコホモロジーの第一コホモロジーが消えることと同値である。
• すべての $n \geq 6$ に対して、任意次元の族として非同型で滑らかで、$\bbA^1$-収縮可能で厳密に擬準アフィンな $n$-次元多様体の族を構成し、$\bbG_a$-および $SL_2$-不変量から導かれる明示的な方程式を与える。
• 次元 4 および 5 では無限個の非同型例が構成され、$\bbC$ 上ではそれらの基本的解析的空間は非同型で非ステイン的であり、位相的に収縮可能であり、しばしば $\bbC^n$ と微分同相である。
• スタック商 $[X/U]$ が代表的セクションを持つことは、$H^1([X/U], \cO_{[X/U]}) = 0$ であることと同値であり、これは商がアフィンスキームであることを示唆する。
• $H^1(\frak{u}, k[X])$ は作用の不変量である。なぜなら、$H^1([X/U], U)$ と同型であるため、このような作用の分類にコホモロジー的不変量が得られる。