[論文レビュー] On Weyl's embedding problem in Riemannian manifolds

Siyuan Lu|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、自然な幾何的仮定の下で、一般の3次元リーマン多様体 $(N^3, \bar{g})$ への、$g \in C^2$ かつ $D^2g$ がディニ連続である2次元球面の等長埋め込みについて、内部 $C^2$ 評価を確立する。ヘインツの内部 $C^2$ 評価を一般化し、双曲的擬局所質量の正値性を活用することで、位置に依存しない平均曲率の評価が得られ、完全な $C^2$ 事前評価が可能となり、従来の $C^4$ 条件よりも弱い正則性のもとで、空間形式におけるウェイルの埋め込み問題の証明が完成する。

ABSTRACT

We consider a priori estimates of Weyl's embedding problem of $(\mathbb{S}^2, g)$ in general $3$-dimensional Riemannian manifold $(N^3, \bar g)$. We establish interior $C^2$ estimate under natural geometric assumption. Together with a recent work by Li and Wang, we obtain an isometric embedding of $(\mathbb{S}^2,g)$ in Riemannian manifold. In addition, we reprove Weyl's embedding theorem in space form under the condition that $g\in C^2$ with $D^2g$ Dini continuous.

研究の動機と目的

• 自然な幾何的仮定の下で、一般の3次元リーマン多様体 $(N^3, \bar{g})$ への $(\mathbb{S}^2, g)$ の等長埋め込みについて、一様な $C^2$ 事前評価を確立すること。
• 従来の曲率評価が埋め込み表面の位置に依存する問題を克服するため、グローバルな位置に依存しない内部 $C^2$ 評価を開発すること。
• 従来の $C^4$ 条件よりも弱い正則性条件 $g \in C^2$ かつ $D^2g$ がディニ連続である場合に、空間形式におけるウェイルの埋め込み定理を再証明すること。
• 双曲的擬局所質量の正値性を活用して、ミンコフスキーの公式が適用できない一般の環境空間における全平均曲率の評価を可能にすること。

提案手法

• ヘインツの内部 $C^2$ 評価を一般リーマン多様体に一般化し、グローバルな位置や環境空間の曲率の境界に依存しないようにすること。
• 双曲空間における Wang–Yau 擬局所質量の正値性を用いて全平均曲率を評価し、非空間形式の設定において古典的なミンコフスキーの公式の代わりにすること。
• 擬等角写像理論を用いて、ベルトラミ–ダルブー係数のディニ連続性条件を確立し、埋め込みの $C^1$ 正則性を保証すること。
• 楕円型正則性理論をベルトラミ–ダルブー系に適用し、ディニ連続な係数が解の $C^1_{\text{loc}}$ 正則性を示すことを示すこと。
• 擬等角写像による局所的埋め込み表現を構築し、強度とディニ連続性の下で、$W^{1,2}$ 評価から $C^1_{\text{loc}}$ 正則性を証明すること。
• 新規の内部 $C^2$ 評価と、李と Wang による最近の $C^0$ 評価を組み合わせることで、等長埋め込み問題における完全な $C^2$ 事前評価を達成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般リーマン多様体におけるウェイルの埋め込み問題について、表面の位置に依存しない内部 $C^2$ 評価を確立できるか？
• RQ2 非空間形式の環境空間において、ミンコフスキーの公式の代わりに、双曲的擬局所質量の正値性が全平均曲率の評価に有効に機能するか？
• RQ3 空間形式におけるウェイルの埋め込み定理を、$g \in C^2$ かつ $D^2g$ がディニ連続であるというより弱い正則性条件下で再証明できるか？
• RQ4 両方のメトリック $g$ と環境メトリック $\bar{g}$ が $C^3$ 正則性である限り、$C^4$ 要求よりも弱い条件下で一様な $C^2$ 事前評価を達成できるか？

主な発見

• 一般の3次元リーマン多様体 $(N^3, \bar{g})$ への $(\mathbb{S}^2, g)$ の等長埋め込みについて、環境空間内での表面の位置に依存しない内部 $C^2$ 評価が確立された。
• 全平均曲率の評価は、双曲的擬局所質量の正値性を用いて得られ、等角キリングベクトル場が存在しない一般の環境空間においても、全平均曲率の評価が可能になった。
• 従来の研究で要求された $C^4$ 条件よりも弱い正則性条件 $g \in C^2$ かつ $D^2g$ がディニ連続である場合に、$C^2$ 事前評価が達成された。
• 著者は、$C^2$ および $D^2g$ がディニ連続であるという条件のもとで、空間形式におけるウェイルの埋め込み定理を再証明し、正則性を低減した結果を確認した。
• 新規の内部 $C^2$ 評価と、李と Wang による最近の $C^0$ 評価を組み合わせることで、一般の場合における完全な $C^2$ 事前評価が得られ、等長埋め込み問題の証明が完成した。
• 係数がディニ連続である場合に、ベルトラミ–ダルブー系が $C^1_{\text{loc}}$ 解を持つことが示され、擬等角写像技術を用いて埋め込みの正則性が確立された。