[論文レビュー] Operadic bar constructions, cylinder objects, and homotopy morphisms of algebras over operads

Benoît Fresse|ArXiv.org|Feb 2, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、環上の有界でない微分付き可換モジュールにおける操縦代数の明示的コフibrントリプレースメントを構成するためのフレームワークを確立する。代数的コブラコンストラクションを用いて、非特徴的ゼロでないおよび有界でない設定に古典的バー双対性を拡張する。圏の内部にシリンダ対象を導入し、操縦代数のホモトピー的準同型が、操縦圏のモデル圏における左ホモトピーに対応することを証明する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is twofold. First, we review applications of the bar duality of operads to the construction of explicit cofibrant replacements in categories of algebras over an operad. In view toward applications, we check that the constructions of the bar duality work properly for algebras over operads in unbounded differential graded modules over a ring. In a second part, we use the operadic cobar construction to define explicit cyclinder objects in the category of operads. Then we apply this construction to prove that certain homotopy morphisms of algebras over operads are equivalent to left homotopies in the model category of operads.

研究の動機と目的

• 有界でない微分付き可換モジュール上の操縦代数に対して、特徴的ゼロの体上のものに限らず、代数的コブラコンストラクションおよびバー双対性を拡張すること。
• 整数環上の torsion および Z-次数的文脈におけるスペクトル系列の収束という技術的課題に対処すること。
• コブラコンストラクションを用いて、操縦圏のカテゴリにおける明示的シリンダ対象を定義すること。
• 操縦代数のホモトピー的準同型と、操縦圏のモデル圏における左ホモトピーとの間の同値性を確立すること。
• フレームワークをプロパラッドに一般化し、プロパラッドの代数のホモトピー圏における同値性の新たなモデルを提示すること。

提案手法

• コープアラッド $ \textsf{D} $ から始めて、代数的コブラコンストラクション $ B^c(\textsf{D}) $ を用いて、操縦圏のコフibrントリプレースメントを生成し、$ \textsf{P} $-代数のコフibrントモデルを可能にする。
• 操縦圏におけるシリンダ対象 $ \text{Cyl} B^c(\textsf{D}) $ を構成し、ホモトピー同値をモデル化する。
• $ \textsf{P} $-代数 $ A $ から $ \textsf{D} $-コアルゲブラ $ \textsf{D}(A) $ を定義し、コブラコンストラクションを適用することで、コフibrント $ \textsf{P} $-代数 $ R_{\textsf{P}}(\Gamma_{\textsf{P}}(A)) $ を得る。
• シリンダ対象の構成を通じて、こうしたコフibrント $ \textsf{P} $-代数間の準同型が、モデル圏における左ホモトピーに対応することを示す。
• この構成を適用して、$ \textsf{P} $-代数間のホモトピー的準同型が、$ B^c(\textsf{D}) $-代数の圏における左ホモトピーと同値であることを証明する。
• シリンダ対象の構成を拡張し、ホモトピー同値性を保ちながら、フレームワークをプロパラッドに一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的コブラコンストラクションは、特徴的ゼロの体に限らず、環上の有界でない微分付き可換モジュール上の操縦代数に対しても一般化可能か？
• RQ2 整数環上の torsion および Z-次数的文脈におけるスペクトル系列の収束は、コフibrントリプレースメントの構成にどのように影響するか？
• RQ3 コブラコンストラクションを用いて、操縦圏のカテゴリにおいて明示的なシリンダ対象を定義可能か？
• RQ4 操縦代数のホモトピー的準同型と、操縦圏のモデル圏における左ホモトピーとの間に、対応関係が存在するか？
• RQ5 このフレームワークは、ホモトピー的準同型と左ホモトピーの同値性を保ちながら、プロパラッドに拡張可能か？

主な発見

• $ R_{\textsf{P}}(\Gamma_{\textsf{P}}(A)) $ は、基になる dg-モジュールが一般の環上で有界でなく、$ \textsf{P} $-代数 $ A $ のコフibrントリプレースメントを $ \textsf{P} $-代数の圏において与える。
• $ \Gamma_{\textsf{P}}(A) $ を $ \textsf{D} $-コアルゲブラとして定義し、そのコブラ解体 $ R_{\textsf{P}}(\Gamma_{\textsf{P}}(A)) $ を得ることで、$ A $ の明示的コフibrントモデルが得られる。これは dg-モジュール構造にやや弱い仮定のもとで有効である。
• 操縦圏におけるシリンダ対象 $ \text{Cyl} B^c(\textsf{D}) $ を用いることで、$ \textsf{P} $-代数のホモトピー的準同型と、モデル圏における左ホモトピーとの同定が可能になる。
• $ \textsf{P} $-代数のホモトピー圏における準同型 $ f: (A, \phi^0) \to (A, \phi^1) $ が弱同値であるための必要十分条件は、$ B^c(\textsf{D}) $-代数の圏における左ホモトピーから生じることである。
• フレームワークはプロパラッドへ拡張可能であり、プロパラッドの圏におけるシリンダ対象も依然としてホモトピー的準同型と左ホモトピーの同値性を保つ。これは、プロパラッドの代数のホモトピー圏における同値性の新たなモデルを示唆する。