[論文レビュー] Operadic categories and their skew monoidal categories of collections

Stephen Lack|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、バタニンとマルクルが導入した操作的カテゴリの一般化を提示し、各カテゴリに対して2つのスケューmonoidalカテゴリの収集を構成する。これらのカテゴリにおけるモノイドは、元の操作的カテゴリ上の操作の定義とちょうど一致する。主な貢献は、操作的カテゴリの新しい同等定義を、それに関連する収集のスケューmonoidalカテゴリを介して行うことである。1つのバージョンでは元のカテゴリを完全に再構成可能であり、もう1つのバージョンでは右単位制約が可逆になる。

ABSTRACT

I describe a generalization of the notion of operadic category due to Batanin and Markl. For each such operadic category I describe a skew monoidal category of collections, such that a monoid in this skew monoidal category is precisely an operad over the operadic category. In fact I describe two skew monoidal categories with this property. The first has the feature that the operadic category can be recovered from the skew monoidal category of collections; the second has the feature that the right unit constraint is invertible. In the case of the operadic category S of finite sets and functions, for which an operad is just a symmetric operad in the usual sense, the first skew monoidal category has underlying category [N, Set], and the second is the usual monoidal category of collections [P, Set] with the substitution monoidal structure.

研究の動機と目的

• バタニンとマルクルが導入した操作的カテゴリの概念を一般化し、操作の研究に向けたより洗練された枠組みを可能にする。
• 各一般化された操作的カテゴリに対して、2つの異なるスケューmonoidalカテゴリの収集を構成し、それらカテゴリにおけるモノイドが元のカテゴリ上の操作とちょうど一致するようにする。
• 元の操作的カテゴリがその関連する収集のスケューmonoidalカテゴリから再構成可能であることを示し、新たな圏的特徴づけを確立する。
• スケューmonoidalカテゴリにおける右単位制約が可逆になる条件を同定し、特定の状況でモノイダル構造が得られることを示す。
• 対称操作のケースにおいて、構成が標準的な収集のモノイダルカテゴリ（置換積を伴う）を回復することを示す。

提案手法

• 有限順序数の圏への基数関手と、ある整合性条件を満たす関手族 R_p を備えた圏として、一般化された操作的カテゴリを定義する。
• Set に値をとる一般化された操作的カテゴリ上のプレシャーブの圏に、置換に類似たテンソル積を用いたスケューmonoidal構造を定義する。
• 収集のスケューmonoidalカテゴリの2つのバージョンを構成する：1つ目は、カテゴリとその [N, Set] へのopmonoidal関手から元の操作的カテゴリを完全に再構成可能であり、2つ目は右単位制約が可逆である。
• 収集のスケューmonoidalカテゴリから [N, Set] へのopmonoidal関手を用い、一般化された構造を古典的な操作的構成と関連付ける。
• ストリートによる既知の構成を用い、スケューmonoidalカテゴリを右正規化したものに変換し、右単位が可逆になるようにする。この変換が、重要なケースでモノイダルカテゴリを生成することを示す。
• 得られたモノイダルカテゴリが、対称操作のケースにおいて、標準的な置換積付きの収集の圏とモノイダル同値であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 操作的カテゴリの概念をどのように一般化すれば、操作のためのより柔軟で洗練された圏的枠組みが得られるか？
• RQ2 各一般化された操作的カテゴリに対して、そのモノイドがちょうどそのカテゴリ上の操作と一致するようなスケューmonoidalカテゴリの収集を構成できるか？
• RQ3 元の操作的カテゴリがその関連する収集のスケューmonoidalカテゴリから再構成可能になる条件は何か？
• RQ4 収集のスケューmonoidalカテゴリが右正規化構造を備える条件は何か？ そして、それがいつモノイダルカテゴリを生成するか？
• RQ5 対称操作の操作的カテゴリのケースでは、この構成はどのように振る舞い、標準的な収集のモノイダルカテゴリを回復するか？

主な発見

• この論文は、バタニンとマルクルの定義を拡張した一般化された操作的カテゴリを導入し、より柔軟な枠組みを提供する。
• 各一般化された操作的カテゴリに対して、モノイドが元のカテゴリ上の操作とちょうど一致する2つのスケューmonoidalカテゴリの収集が構成される。
• 1番目の構成では、収集のスケューmonoidalカテゴリとその [N, Set] へのopmonoidal関手から、元の操作的カテゴリを完全に再構成可能である。
• 2番目の構成では、右単位制約が可逆であり、対称操作のケースに適用すると、得られるカテゴリは標準的な置換積付きの収集の圏とモノイダル同値である。
• 2-木操作の操作的カテゴリ Ω₂ のケースでは、モノイダル性の十分条件を満たさないため、Coll^U_Ω₂ がモノイダルでない可能性がある。
• 論文は、スケューモノイダルの構造をスパンの2-圏における双対性と結びつけ、圏 B に操作的カテゴリの構造があることは、Span 内のスケューモノイダル構造の双対であることを示している。