[論文レビュー] Coherence for Categorified Operadic Theories

Miles Gould|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、操作によって提示される代数的理論の分類化のための一貫した枠組みを提案し、方程式が一貫した同型に沿って成り立つ弱い $P$-圏を定義する。弱い $P$-圏から厳密な $P$-圏への厳密化関手を構成し、これは厳密な $P$-圏から弱い $P$-圏への忘却関手の左随伴であることを示し、構成が操作の提示に依存しないことを証明している。また、モノイド圏や対称モノイド圏の古典的整合性結果を一般化している。

ABSTRACT

Given an algebraic theory which can be described by a (possibly symmetric) operad $P$, we propose a definition of the \emph{weakening} (or \emph{categorification}) of the theory, in which equations that hold strictly for $P$-algebras hold only up to coherent isomorphism. This generalizes the theories of monoidal categories and symmetric monoidal categories, and several related notions defined in the literature. Using this definition, we generalize the result that every monoidal category is monoidally equivalent to a strict monoidal category, and show that the "strictification" functor has an interesting universal property, being left adjoint to the forgetful functor from the category of strict $P$-categories to the category of weak $P$-categories. We further show that the categorification obtained is independent of our choice of presentation for $P$, and extend some of our results to many-sorted theories, using multicategories.

研究の動機と目的

• 操作によって記述される代数的理論の体系的な分類化の定義を提示し、モノイド圏や対称モノイド圏を一般化すること。
• 弱い $P$-圏が、普遍的性質を満たす厳密化関手によって厳密な $P$-圏と同値であることを示すこと。
• 分類化の構成が操作の提示の選択に依存しないことを証明し、異なる記法的記述間での一貫性を保証すること。
• 多様なソートを持つ理論への一般化を、マルチカテゴリと豊かにされた構造を用いて行うこと。
• 本手法と、2-モノイドの擬代数やラプラザ集合といった代替定義との比較・対比を行うこと。

提案手法

• 方程式が指定された一貫した同型に沿って成り立つ弱い $P$-圏を、分類化された操作の代数として定義する。
• 弱い $P$-圏から厳密な $P$-圏への厳密化関手を構成し、それが忘却関手の左随伴であることを示す。
• 因子化系と記法的特徴付けを用いて、分類化された設定における整合性の概念を形式化する。
• 豊かにされたマルチカテゴリと有限積操作を用いて、多様なソートや代数的構造を持つ理論への理論の一般化を行う。
• 同値な操作が同値な分類化をもたらすことを示すことで、提示の独立性を実証する。
• 既存の枠組み（2-モノイドの擬代数やラプラザ集合など）と比較し、制限事項と利点を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 操作によって提示される代数的理論の分類化を、方程式が一貫した同型に沿って成り立つように体系的に定義する方法は何か？
• RQ2 弱い $P$-圏から厳密な $P$-圏への厳密化関手が満たす普遍的性質は何か？そして、忘却関手とどのように関係しているか？
• RQ3 操作 $P$ の提示の選択に依存しない、結果として得られる分類化は成立するか？
• RQ4 マルチカテゴリと豊かにされた構造を用いて、この枠組みを多様なソートを持つ理論へ拡張できるか？
• RQ5 2-モノイドの擬代数やラプラザ集合といった代替定義と比較して、整合性と普遍性の観点から、本手法はどのように異なるか？

主な発見

• 弱い $P$-圏から厳密な $P$-圏への厳密化関手は、忘却関手の左随伴であり、構成に普遍的性質をもたらす。
• 操作 $P$ によって提示される理論の分類化は、$P$ の提示の選択に依存しない。これにより、異なる記法的表現間での一貫性が保証される。
• この枠組みは、例えばジョイアルとストリートの定理（任意の弱いモノイド圏はモノイド的同値な厳密な圏に同値）といった古典的整合性結果を一般化する。
• 対称操作に対しては、この構成により対称モノイド圏が得られ、整合性条件により、対称性同型が操作的構造と整合する。
• 2-モノイドの擬代数の手法は、対称性同型を過剰に制約するため、対称モノイド圏を正しく捉えられないという欠点を避ける。
• ラプラザ集合と豊かにされたマルチカテゴリの使用により、多様なソートや高次アリティを持つ代数的理論への柔軟で一般的な拡張が可能になる。