[論文レビュー] Operator Size for Holographic Field Theories

Alexandros Mousatov|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 51被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ホログラフィックCFTにおける状態依存的演算子サイズ定義を導入し、Qi-Streicherの公式を高次元AdS幾何に一般化する。演算子サイズは、BTZブラックホールにおけるKruskal運動量の和および真空AdS₃におけるグローバルハミルトニアンとして、バルクの物理的観測可能量として特定され、インフォーラの重力場内での仮想重力子の数として双対解釈され、ブラックホールエントロピーのスケールで飽和する。

ABSTRACT

We formulate a state-dependent definition of operator size that captures the effective size of an operator acting on a reference state. We apply our definition to the SYK model and holographic 2-dimensional CFTs, generalizing the Qi-Streicher formula to a large class of geometries which includes pure AdS$_3$ and BTZ black holes. In pure AdS$_3$, the operator size is proportional to the global Hamiltonian at leading order in $1/N$, mirroring the results of Lin-Maldacena-Zhao in AdS$_2$. For BTZ geometries, it is given by the sum of the Kruskal momenta. Higher $1/N$ corrections become relevant when backreaction gets large, and we expect a transition in the growth pattern that depends on the transverse profile of the excitation. We propose a bulk dual that captures this profile dependence and exhibits saturation at a size of order the black hole entropy. This bulk dual is an averaged eikonal phase over a class of scattering events, and it can be interpreted as the "number of virtual gravitons" in the gravitational field created by an infaller.

研究の動機と目的

• 熱的密度行列に限らない純粋状態および無限次元場理論へのQi-Streicherの公式による演算子サイズの拡張。
• ホログラフィック2次元CFTおよびSYKに類似したモデルに適用可能な一貫性のある状態依存的演算子サイズ定義の確立。
• 純粋なAdS₃およびBTZブラックホール幾何における演算子サイズのバルク重力的双対の同定。
• ショックウェーブ強度や仮想重力子数といったバルクの物理的観測可能量と演算子サイズを結びつける。
• 高次の$1/N$補正が演算子サイズの成長に与える影響を調べ、バックレアクションに起因するダイナミクスの転移を信号する。

提案手法

• 参考状態$|\Psi\rangle$に作用する正定値自己随伴演算子$\hat{S}_{|\Psi\rangle}$の期待値として演算子サイズを定義し、$S_{|\Psi\rangle}(\mathcal{O}) = \frac{\langle\Psi|\mathcal{O}^\dagger \hat{S}_{|\Psi\rangle} \mathcal{O}|\Psi\rangle}{\langle\Psi|\mathcal{O}^\dagger \mathcal{O}|\Psi\rangle}$を満たす。
• この定義を用いて、高度に対称な状態、特に熱場二重状態$|\beta\rangle$、時間シフトされた熱場二重状態、片側ブラックホール状態における$\hat{S}_{|\Psi\rangle}$を計算する。
• 真空AdS₃では、$\hat{S}_{|\Psi\rangle}$が$1/N$の一次に比例するグローバルハミルトニアンに比例し、Lin-Maldacena-Zhaoの結果と整合する。
• BTZブラックホールでは、$\hat{S}_{|\Psi\rangle}$がKruskal運動量の和に一致し、演算子サイズとショックウェーブ強度を直接結びつける。
• インフォーラの重力場内に存在する仮想重力子の数を表す散乱事象の平均エイコナル位相としてのバルク双対解釈を提案する。
• 状態の準位分布が$|c_n|^2 \lesssim C_1 e^{-\beta n}$の指数的減衰を示す場合に、演算子サイズが有限かつ連続である条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元ホログラフィックCFTにおける純粋状態に対して、熱的密度行列に限らない一貫した演算子サイズの定義はどのように可能か？
• RQ2 真空AdS₃およびBTZブラックホール幾何における演算子サイズのバルク重力的双対は何か？
• RQ3 演算子サイズは時間とともにどのように成長し、$1/N$補正はその成長にどのように影響するか？
• RQ4 演算子サイズは、仮想重力子の数といったバルクの物理的観測可能量として解釈可能か？
• RQ5 演算子サイズの飽和スケールは何かを決定づけ、ブラックホールエントロピーとどのように関係するか？

主な発見

• 真空AdS₃では、$1/N$の一次に比例して演算子サイズがグローバルハミルトニアンに比例し、AdS₂におけるLin-Maldacena-Zhaoの結果と整合する。
• BTZブラックホールでは、演算子サイズがKruskal運動量の和に等しく、ショックウェーブ強度および重力的ダイナミクスと直接結びつく。
• バックレアクションが大きい場合には、高次の$1/N$補正が顕著になり、演算子サイズの成長パターンに転移を示唆する。
• 演算子サイズはブラックホールエントロピーのスケールで飽和し、Bekenstein-Hawkingエントロピーに密接に関連する根本的な限界を示唆する。
• 演算子サイズのバルク双対は、散乱過程の平均エイコナル位相として解釈され、インフォーラの重力場内に存在する仮想重力子の数に対応する。
• 指数的減衰を示す準位分布を持つ「妥当な」状態に対して、定義が有限かつ連続であることを保証し、時間発展された演算子における病理的振る舞いを回避する。