[論文レビュー] Optimal Fractional Repetition Codes and Fractional Repetition Batch Codes

Natalia Silberstein, Tuvi Etzion|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2015

Advanced Data Storage Technologies参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、分散ストレージシステム向けに最適な分数反復（FR）コードを提示し、新たに分数反復バッチ（FRB）コードと呼ばれるコードの新規族を導入する。トゥーラン図、サイクルが長い図、直交設計、一般化多角形といった組合せ設計を活用することで、理論的上限に達するファイルサイズを実現するFRコードを構築する。一方、FRBコードは、複数のユーザーによる並列アクセスを可能にし、非符号化正確な修復と並列負荷分散を両立する。

ABSTRACT

Fractional repetition (FR) codes is a family of codes for distributed storage systems (DSS) that allow uncoded exact repairs with minimum repair bandwidth. In this work, we consider a bound on the maximum amount of data that can be stored using an FR code. Optimal FR codes which attain this bound are presented. The constructions of these FR codes are based on families of regular graphs, such as Turán graphs and graphs with large girth; and on combinatorial designs, such as transversal designs and generalized polygons. In addition, based on a connection between FR codes and batch codes, we propose a new family of codes for DSS, called fractional repetition batch codes, which allow uncoded efficient exact repairs and load balancing which can be performed by several users in parallel.

研究の動機と目的

• ストレージ帯域幅トレードオフの下で、可能な限り大きなファイルサイズを実現する最適な分数反復（FR）コードの構築。
• FRコードの最大ファイルサイズ（FR容量）に対する理論的上限を確立し、この上限に達するコードの構築。
• FRコードとバッチコードの性質を組み合わせることで、分数反復バッチ（FRB）コードを導入・形式化し、分散ストレージに適応させる。
• 複数のユーザーが並列に異なるデータシンボルを取得できるようにすることで、データ取得時の負荷分散を実現する。
• FRコードの非符号化正確修復の利点と、バッチコードの効率的なバッチデータ取得の利点を統合した、1つのコーディングフレームワークでの実現。

提案手法

• トゥーラン図やサイクルが長い図を含む正則グラフを用いてFRコードを構築し、各シンボルが正確にρ個のノードに格納され、各ノードがα個のシンボルを格納することを保証する。
• 再利用可能な直交設計（TD(α−1,α)）や一般化多角形を含む組合せ設計を活用し、高いファイルサイズと構造的最適性を持つFRコードを生成する。
• FRBコードをDRESSコードと均一な組合せ的バッチコードのハイブリッドとして定義し、各データシンボルがρ個のノードに格納され、任意のk個のノードからファイルが再構成可能であることを保証する。
• バッチ取得機能を実現するため、任意のt個のデータシンボルが、各ノードから最大1個のシンボルを読み取ることで取得可能であることを要件とする。これにより、複数ユーザーによる並列アクセスが可能になる。
• FRコードとバッチコードの関係を活用し、既知の最適FRコード構成からFRBコードの構成を導出する。
• ノード集合の和集合に基づくファイルサイズM(k)の上限を適用し、M(k) = min|∪_{i∈I} N_i|（|I|=k）として、最大のファイル格納容量を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FRコードを用いて格納可能なファイルサイズの理論的上限は何か？ また、この上限に達することができるか？
• RQ2 トゥーラン図、サイクルが長い図、直交設計といった組合せ構造を用いて、FRコードをどのように構築すれば最適性を達成できるか？
• RQ3 FRコードの性質とバッチコードの性質を統合することで、非符号化正確修復と並列データ取得の両方をサポートする新しいコードクラスを設計可能か？
• RQ4 ファイルが任意のk個のノードから再構成可能であり、かつt個のシンボルが最小限のノードアクセスで取得可能であるようなコードの構造的・パrameter的制約は何か？
• RQ5 FRBコードのファイルサイズと取得効率は、既存のDRESSコードやバッチコードの構成と比較してどのように異なるか？

主な発見

• トゥーラン図に基づく最適FRコードは、完全二部グラフKα,αにおいて、M(k) = kα − ⌊k²/4⌋を達成し、理論的上限のファイルサイズに到達する。
• サイクルがgのα正則グラフから構築されたFRコードは、k ≤ g−1のときM(k) = kα − k + 1、g ≤ k ≤ g + ⌈g/2⌉ − 2のときM(k) = kα − kを達成する。
• 再利用可能な直交設計TD(α−1,α)に基づくFRコードは、M ≥ kα − (k²/2) + (α−1)(x²/2) + xyを達成する。ここでk = x(α−1) + y、かつy ≤ α−2である。
• 完全二部グラフKα,αに基づくFRBコードは、2-(2α, M, k, α, 5)コードであり、M = kα − ⌊k²/4⌋を満たし、最大5個のシンボルを並列に取得可能である。
• 再利用可能な直交設計TD(3,4)に基づくFRBコードは、k=4のときM=11を達成し、11ノードのシステムで1ノードあたり1シンボルの読み取りで任意の11シンボルを取得可能である。
• 提案されたFRBコードは、非符号化正確修復と並列バッチ取得による負荷分散を同時に実現する最初のコードであり、最適FRコードから明示的な構成が導出可能である。